calculo-de-una-variable-1

400 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
2. Carl Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Nueva York: Dover,
1959, capítulo V.
3. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus, Nueva York: Springer-
Verlag, 1979, capítulos 8 y 9.
4. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, 6a. ed., Nueva York:
Saunders, 1990, Capítulo 11.
5. C. C. Gillispie, ed., Dictionary of Scientific Biography, Nueva York: Scribner’s, 1974.
Véase el artículo sobre Leibniz escrito por Joseph Hofmann, en el volumen VIII, y el
artículo sobre Newton escrito por I. B. Cohen, en el volumen X.
6. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction, Nueva York: Harper-Collins, 1993,
capítulo 12.
7. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Nueva York:
Oxford University Press, 1972, capítulo 17.
Libros fuente
1. John Fauvel y Jeremy Gray, eds., The History of Mathematics: A Reader, Londres:
MacMillan Press, 1987, capítulos 12 y 13.
2. D. E. Smith, ed., A Sourcebook in Mathematics, Londres, MacMillan Press, 1987,
capítulos 12 y 13.
3. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800, Princeton, N. J.: Princeton University
Press, 1969, capítulo V.
5.5
LA REGLA DE LA SUSTITUCIÓN
En virtud del teorema fundamental, es importante poder hallar antiderivadas. Pero nuestras
fórmulas de antiderivación no indican cómo evaluar integrales como
& En la sección 3.10 se definieron las
diferenciales. Si u f x,
entonces
du f x dx
1
y 2xs1 x 2 dx
Para hallar esta integral, aplique la estrategia para la solución de problemas de introducir
algo adicional. En este caso, el “algo adicional” es una nueva variable; cambie de una
variable x a una variable u. Suponga que hace que u sea la cantidad debajo del signo integral
de (1), u 1 x 2 . Entonces la diferencial de u es du 2xdx. Advierta que si la dx
en la notación para una integral se interpretara como una diferencial, entonces en (1) se
tendría la diferencial 2xdxy, por consiguiente, desde un punto de vista formal y sin justificar
este cálculo, podría escribir
2
y 2xs1 x 2 dx y s1 x 2 2xdx y su du
2 3u 32 C 2 3 x 2 1 32 C
Pero ahora podría comprobar que tiene la respuesta correcta aplicando la regla de la cadena
para derivar la función final de la ecuación (2):
d
dx [ 2 3x 2 1 32 C] 2 3 3 2x 2 1 12 2x 2xsx 2 1
En general, este método funciona siempre que tiene una integral que pueda escribir en
la forma x f txtx dx. Observe que si F f , entonces
3
y Ftxtx dx Ftx C