calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS |||| 701
y
y=ƒ
El residuo R n es el error que se comete cuando s n , la suma de los primeros n términos, se
usa como una aproximación a la suma total.
Se usa la misma notación y las ideas que en la prueba de la integral, suponiendo que f
es decreciente en n, . Al comparar las áreas de los rectángulos con el área bajo y f x
para x n en la figura 3
a n+1 a n+2
. . .
0 n
x
FIGURA 3
Asimismo, en la figura 4
R n a n1 a n2 y
f x dx
n
y
y=ƒ
R n a n1 a n2 y
De este modo se demuestra la siguiente estimación de error.
n1
f x dx
a n+1 a n+2 . . .
0
n+1
x
FIGURA 4
2 ESTIMACIÓN DEL RESIDUO PARA LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Suponga f k a k ,
donde f es una función continua, positiva y decreciente para x n y a n es convergente.
Si R n s s n , entonces
y
n1
f x dx R n y
f x dx
n
V EJEMPLO 5
(a) Obtenga un valor aproximado de la suma de la serie 1n 3 usando la suma de los
primeros 10 términos. Estime el error originado en esta aproximación.
(b) ¿Cuántos términos se requieren para asegurar que la suma no difiere en más
de 0.0005?
SOLUCIÓN En los incisos (a) y (b) necesita conocer f x dx. Con f x 1x 3 ,
que satisface las condiciones de la prueba integral, tiene
(a)
y
n
n1
1
3
dx lím
x t l 1
1
n s 3 10 1 1 1 3 2 1 3 3 1
3 10 1.1975
3
De acuerdo con el residuo estimado en (2) tiene
R 10 y
2x 2n
10
1
x dx 1
3 210 1
2 200
De modo que el tamaño del error es cuanto mucho de 0.005.
(b) La precisión de 0.0005 quiere decir que debe encontrar un valor de n tal que
R n 0.0005. Puesto que
R n y
n
t
x n
lím
t l 1
2t 2 1
2n 2 1
2n 2
1
x dx 1
3 2n 2
se quiere que
1
2n 2 0.0005