calculo-de-una-variable-1

718 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
De esta manera, de acuerdo con la regla de comparación, la serie dada es absolutamente
convergente y, en consecuencia, convergente.
EJEMPLO 5 Pruebe si la serie n n
V
es convergente.
n1 n!
SOLUCIÓN Puesto que los términos a n n n n! son positivos, no necesita los signos del valor
absoluto.
a n1
a n
n 1n1
n 1!
n 1
n
n! n 1n 1n
n
n n 1n!
n!
n n
n
1
nn 1 l e cuando n l
(Véase ecuación 3.6.6.) Puesto que e 1, la serie dada es divergente según la prueba
de la razón.
NOTA La prueba de la razón funciona en el ejemplo 5, pero un método más fácil es la
prueba de la divergencia. Como
a n nn
n! n n n n
1 2 3 n n
se infiere que a n no tiende a 0 cuando n l . Por lo tanto, la serie dada es divergente según
la prueba de la divergencia.
Es conveniente aplicar la siguiente prueba cuando hay potencias n-ésimas. Su demostración
es similar a la de la prueba de la razón y se deja en el ejercicio 37.
PRUEBA DE LA RAÍZ
(i) Si lím
, entonces la serie es absolutamente convergente
(y, por lo tanto, convergente).
(ii) Si lím
o lím , entonces la serie es divergente.
(iii) Si lím
n l sn a n L 1
n l sn a n L 1
n l sn a n 1
n l sn a n
a n
n1
, la prueba de la raíz no es concluyente.
a n
n1
Si lím n l s n a n 1 , entonces la parte (iii) de la prueba de la raíz establece que la
prueba no proporciona información. La serie a n podría ser convergente o divergente.
(Si L 1 en la prueba de la razón no intente con la prueba de la raíz porque L será una
vez más 1. Y si L 1 en la prueba de la raíz, no intente la prueba de la razón porque
también fallará.)
EJEMPLO 6 Pruebe la convergencia de la serie
.
n1 2n 3
V
SOLUCIÓN
a n
2n 3 n
3n 2
n
3n 2
s n a n 2n 3
3n 2 2 3 n
3 2 n
l 2 3 1
Así, la serie dada converge según la prueba de la raíz.