calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES |||| 641
Las ecuaciones 1 permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen
las coordenadas polares. Para determinar r y u cuando se conocen x y y, se usan las
ecuaciones
2
r 2 x 2 y 2
tan y x
que se pueden deducir de las ecuaciones 1, o simplemente leer de la figura 5.
EJEMPLO 2 Convierta el punto 2, p3 de coordenadas polares a cartesianas.
SOLUCIÓN Puesto que r 2 y u p3, las ecuaciones 1 dan
x r cos 2 cos
3 2 1 2 1
y r sen 2 sen
3 2 s3
2 s3
Por lo tanto, el punto es (1, s3) en coordenadas cartesianas.
EJEMPLO 3 Represente el punto con coordenadas cartesianas 1, 1 en términos de
coordenadas polares.
SOLUCIÓN Si se elige r como positiva, en tal caso las ecuaciones 2 dan
r sx 2 y 2 s1 2 1 2 s2
tan
y x 1
Puesto que el punto 1, 1 se localiza en el cuarto cuadrante, se puede elegir u p4
o u 7p4. Así, una respuesta posible es (s2, 4) ; otra es s2, 74.
NOTA Las ecuaciones 2 no determinan de manera única a u cuando se dan x y y porque
cuando se incrementa u en el intervalo 0 , cada valor de tan u ocurre dos veces. Por
lo tanto, al convertir de coordenadas cartesianas a polares, no es suficiente hallar r y u que
satisfacen las ecuaciones 2. Como en el ejemplo 3, se debe elegir u de modo que el punto
r, u está en el cuadrante correcto.
2
r= 1 2
r=1
r=2
r=4
CURVAS POLARES
La gráfica de una ecuación polar r fu, o de manera más general Fr, u 0, consta
de los puntos P que tienen al menos una representación polar r, u cuyas coordenadas satisfacen
la ecuación.
x
V
EJEMPLO 4 ¿Qué curva representa la ecuación polar r 2?
FIGURA 6
SOLUCIÓN La curva consta de todos los puntos r, u con r 2. Puesto que r representa
la distancia del punto al polo, la curva r 2 representa la circunferencia con centro O
y radio 2. En general, la ecuación r a representa una circunferencia con centro O y
radio . (Véase fig. 6.)
a