calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.1 LONGITUD DE ARCO |||| 527
& Como comprobación de la respuesta al
ejemplo 1, observe en la figura 5 que es
necesario que la longitud de arco debe ser
un poco más grande que la distancia de (1, 1) a
(4, 8), que es
s58 7.615773
De acuerdo con el cálculo del ejemplo 1, se
tiene
L 1
27 (80s10 13s13) 7.633705
Con certeza suficiente, ésta es un poco más
grande que la longitud del segmento de recta.
Por lo tanto,
L 4 9 y 10
134 su du 4 9 2 3 u 32 ] 134
8 27[10 32 ( 13 4 ) 32 ]
1 27(80s10 13s13)
Si una curva tiene la ecuación x ty, c y d, y ty es continua, entonces al
intercambiar los papeles de x y y en la fórmula 2 o la ecuación 3, se obtiene la fórmula
siguiente para su longitud:
L y d
s1 d
ty2 dy
c
y 1 dx
4 dy
dy2
c
10
V EJEMPLO 2 Encuentre la longitud del arco de la parábola y 2 x de 0, 0 a 1, 1.
SOLUCIÓN Puesto que x y 2 , se tiene dxdy 2y, y la fórmula 4 produce
Se hace la sustitución trigonométrica , que da y
s1 4y 2 s1 tan 2 y 1 dy 1 2 sec 2 2 tan
d
sec . Cuando y 0, tan 0, por lo tanto, ; cuando
y 1, tan 2, así que , por ejemplo. Por eso,
1
L y 1 dx 2
dy
0 dy y 1
s1 4y 2 dy
0
tan 1 2
L y sec 1 2 sec 2 d 1 2 y sec3 d
0 0
0
1 2 1 2[sec tan ln sec tan ] 0
1 4(sec tan ln sec tan )
(del ejemplo 8 de la sección 7.2)
(Se podría haber usado la fórmula 21 de la tabla de integrales). Puesto que , se
tiene sec 2 1 tan 2 tan 2
5, de modo que sec s5 y
L s5
2
ln(s5 2)
4
& En la figura 6 se muestra el arco de la
parábola cuya longitud se calculó en el
ejemplo 2, junto con aproximaciones poligonales
que tienen segmentos de recta n 1 y
n 2, respectivamente. Para n 1 la
longitud aproximada es L 1 s2, la diagonal
de un cuadrado. En la tabla se muestran las
aproximaciones L n que se obtienen al dividir
[0, 1] en n subintervalos iguales. Observe que
cada vez que se duplica el número de lados de
un polígono, se aproxima más a la longitud
exacta, que es
L s5
2
ln(s5 2)
4
1.478943
y
1
x=¥
0
1
x
FIGURA 6
n
L n
1 1.414
2 1.445
4 1.464
8 1.472
16 1.476
32 1.478
64 1.479