calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.1 LA TANGENTE Y LOS PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD |||| 85
A partir de los puntos P0.04, 67.03 y R0.00, 100.00 de la gráfica la pendiente de la
recta secante es
R
m PR
0.00, 100.00 824.25
0.02, 81.87 742.00
0.06, 54.88 607.50
0.08, 44.93 552.50
0.10, 36.76 504.50
& El significado físico de la respuesta del
ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que
fluye del capacitor al foco del flash después
de 0.04 de segundo es de casi de –670
microamperes.
m PR
En la tabla que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos similares para
las pendientes de otras rectas secantes. Con base en esa tabla cabe esperar que la pendiente
de la recta tangente en t 0.04 se encuentre en algún valor entre 742 y 607.5. De
hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es
Así, mediante este método estimamos la pendiente de la recta tangente como 675.
Otro método es trazar una aproximación a la recta tangente en P y medir los lados
del triángulo ABC como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la
recta tangente como
EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD
100.00 67.03
0.00 0.04
824.25
1
2742 607.5 674.75
AB 80.4 53.6
BC
0.06 0.02 670
Si observa el velocímetro de un automóvil al viajar en el tráfico de la ciudad, puede ver
que la aguja no permanece inmóvil mucho tiempo; es decir, la velocidad del auto no es
constante. Al observar el velocímetro, el vehículo tiene una velocidad definida en cada momento,
¿pero cómo se define la velocidad “instantánea”? Investiguemos el ejemplo de una
pelota que cae.
V EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observación
de la Torre CN en Toronto, 450 m por encima del nivel del suelo. Encuentre la velocidad
de la pelota una vez que transcurren 5 segundos.
SOLUCIÓN A través de experimentos que se llevaron a cabo cuatro siglos atrás, Galileo
descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae libremente es proporcional
al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (En este modelo de caída libre
no se considera la resistencia del aire.) Si la distancia recorrida después de t segundos
se denota mediante st y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa
con la ecuación
st 4.9t 2
© 2003 Brand X Pictures
La Torre CN en Toronto es el edificio autoestable
más alto del mundo en la actualidad.
La dificultad para hallar la velocidad después de 5 s es que trata con un solo instante
t 5, de modo que no interviene un intervalo. Sin embargo, puede tener una
aproximación de la cantidad deseada calculando la velocidad promedio durante el
breve intervalo de una décima de segundo, desde t 5 hasta t 5.1:
velocidad promedio
cambio en la posición
tiempo transcurrido
s5.1 s5
0.1
4.95.12 4.95 2
0.1
49.49 ms