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PROYECTO DE LABORATORIO POLINOMIOS DE TAYLOR |||| 253
39. Si una corriente I pasa através de un resistor con resistencia
R la ley de Ohm establece que la caida de voltaje es V RI.
Si V es constante y R se mide con un cierto error, aplique
diferenciales para mostrar que el cálculo de I es aproximadamente
el mismo (en magnitud) que el error relativo en R.
40.
Cuando la sangre fluye por un vaso sanguíneo, el flujo F
(el volumen de sangre por unidad de tiempo que corre por
un punto dado) es proporcional a la cuarta potencia del radio
R de ese vaso:
(Ésta se conoce como ley de Poiseuille; en la sección 8.4
se muestra por qué es verdadera.) Una arteria parcialmente
obstruida se puede expandir por medio de una operación
llamada angioplastia, en la cual un catéter provisto de un
globo en la punta se infla dentro del vaso con el fin de
ensancharlo y restituir el flujo sanguíneo normal.
Demuestre que el cambio relativo en F es alrededor de cuatro
veces el cambio relativo en R. ¿Cómo afectará un aumento
del 5% en el radio al flujo de sangre?
41. Deduzca las reglas siguientes para trabajar con diferenciales,
donde c es una constante y u y v son funciones de x).
(a) dc 0
(b) du v du dv
(c)
d u v
v du u dv
v 2
F kR 4
(b)
(b)
(b)
dcu c du
duv u dv v du
dx n nx n1 dx
42. En la página 431 de Physics: Calculus, 2a. edición, por Eugene
Hecht (Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2000), mientras se
deriva la fórmula T 2sLt para el periodo de un péndulo
de duración L, el autor obtiene la ecuación a T t sen para
la aceleración tangencial del breve movimiento del péndulo.
Luego dice “para ángulos pequeños, el valor de u en radianes
está muy cerca del valor de sen ; difieren menos que 2% hasta
alrededor de 20°”.
(a) Compruebe la aproximación lineal en 0 para la función seno:
sen x x
; (b) Use un dispositivo graficador para determinar los valores
de x para los cuales sen x y x difieren menos de 2%.
Enseguida compruebe la afirmación de Hecht convirtiendo
de radianes a grados.
43. Suponga que la única información acerca de una función
f es que f 1 5 y la gráfica de su derivada es como se
ilustra.
(a) Use una aproximación lineal para estimar f 0.9 y f 1.1.
(b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes o
demasiado pequeñas? Explique.
y
1
0 1
y=fª(x)
44. Suponga que no tiene una fórmula para tx pero sabe que
t2 4 y tx sx 2 5 para toda x.
(a) Use una aproximación lineal para estimar t1.95
y t2.05.
(b) ¿Sus estimaciones para el inciso (a) son demasiado grandes
o demasiado pequeñas? Explique.
x
PROYECTO DE
LABORATORIO
; POLINOMIOS DE TAYLOR
La aproximación de la recta tangente Lx es la mejor aproximación de primer grado (lineal)
a fx, cerca de x a, porque fx y Lx tienen la misma relación de cambio (derivada) en a.
Para tener una aproximación mejor que una lineal, intente una aproximación de segundo grado
(cuadrática) Px. En otras palabras, aproxime una curva mediante una parábola en lugar de por
una recta. Para tener la seguridad de que la aproximación es buena, estipule lo siguiente:
(i) Pa f a ( P y f deben tener el mismo valor en a.)
(ii) Pa f a ( P y f deben tener la misma relación de cambio en a.)
(iii)
Pa f a
(Las pendientes de P y f deben tener la misma relación de cambio en a.)
1. Encuentre la aproximación cuadrática Px A Bx Cx 2 para la función f x cos x,
que satisfaga las condiciones (i), (ii) y (iii), con a 0. Dibuje P, f y la aproximación
lineal Lx 1, en una pantalla común. Comente cuán bien las funciones P y L se
aproximan a f.
2. Determine los valores de x para los que la aproximación cuadrática fx Px del
problema 1 es exacta con una diferencia menor que 0.1. [Sugerencia: Dibuje y Px,
y cos x 0.1 y y cos x 0.1 en una pantalla común.]