calculo-de-una-variable-1

534 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
Como en la demostración del teorema 8.1.2, se tiene
P i1P i s1 f x i* 2 x
donde x i * es algún número en x i1 , x i . Cuando x es pequeño, se tiene y i f x i f x i *
y también y i1 f x i1 f x i *, puesto que f es continua. Por lo tanto,
2 y i1 y i
2
P i1P i 2
f x i * s1 f x i * 2 x
y de este modo una aproximación a lo que se considera el área de la superficie de revolución
completa es
3
n
i1
2
f x i * s1 f x i * 2 x
Esta aproximación al parecer mejora cuando n l y, reconociendo a (3) como una suma
de Riemann para la función tx 2 f x s1 f x 2 , se tiene
lím
n l n
i1
2
f x i * s1 f x i * 2 x y b
a
2
f x s1 f x 2 dx
Por lo tanto, en el caso donde f es positiva y tiene una derivada continua, se define el área
superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva y f x, a x b, respecto
al eje x como
4
S y b
a
2
f x s1 f x 2 dx
Con la notación de Leibniz para derivadas, esta fórmula se convierte en
5
S y b
a
2y1
dx
dy 2
dx
Si la curva se describe como x ty, c y d, entonces la fórmula para el área superficial
se transforma en
6
S y d
c
2y1
dy
dx 2
dy
y ambas fórmulas se pueden resumir de forma simbólica, por medio de la notación para la
longitud de arco dada en la sección 8.1, como
7
S y 2y ds