calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.2 SERIES |||| 695
CAS
39.
40.
41–46 Exprese el número como una razón de enteros.
41.
(e 1/n e 1/(n1) )
n1
n1cos 1 n cos 1
2
0,2 0.2222. . .
42. 0.73 0.73737373. . .
43. 3.417 3.417417417. . .
44. 6.254 6.2545454. . .
47–51 Calcule los valores de x para los cuales la serie converge.
Determine la suma de la serie para dichos valores de x.
52. Puesto que la serie armónica es una serie divergente cuyos términos
se aproximan a 0. Demuestre que
ln1
n
1
es otra serie con esta propiedad.
53–54 Aplique el comando de las fracciones parciales en su sistema
algebraico computacional para determinar la suma parcial, y
luego aplique esta expresión para determinar la suma de la serie.
Compruebe su respuesta usando directamente el sistema algebraico
a la suma de la serie.
53. 3n 2 3n 1
54.
n 2 n 3
n1
(n 1) 2
45. 1.5342
46. 7.12345
47. x n
48.
x 4 n
n1 3 n
n1
49. 50. x 3
n
4 n x n
n0
n0 2 n
51. cos n x
n0 2 n
n1
55. Si la n-ésima suma parcial de una serie n1 a n es
s n n 1
n 1
determine a y n n1 a n .
n2
1
n 3 n
56. Si la n-ésima suma parcial de una serie n1 a n es
s , determine a y n 3 n2 n
n n1 a n .
57. Cuando el dinero se gasta en bienes y servicios, los que reciben
el dinero también gastan un poco de él. Las personas que
reciben algo del dinero gastado dos veces, gastarán algo de dicho
dinero, y así sucesivamente. Los economistas llaman a esta
reacción en cadena efecto multiplicador. En un hipotético
pueblo aislado, el gobierno local inicia el proceso gastando D
dólares. Suponga que cada persona que recibe dinero gasta
100c% y ahorra 100s% del dinero. Los valores c y s se denominan
propensión marginal al consumo y propensión marginal
al ahorro y, naturalmente, c s 1.
(a) Sea S n el total de lo gastado que ha sido generado después de
n transacciones. Determine una ecuación para S n .
(b) Demuestre que lím n l S n kD , donde k 1s. La cantidad
k se llama multiplicador. ¿Cuál es el multiplicador si la
propensión marginal al consumo es 80% ?
Nota: El gobierno federal de Estados Unidos usa este principio
para justificar el gasto que muestra déficit. Los bancos utilizan
el principio para justificar los préstamos de un gran porcentaje
del dinero que reciben como depósito.
58. Una cierta pelota tiene la característica de que cada vez que cae
desde una altura h sobre una superficie nivelada y dura, rebota
hasta una altura rh, donde 0 r 1. Suponga que la pelota
cae desde una altura inicial de H metros.
(a) Suponga que la pelota continúa rebotando de manera
indefinida y calcule la distancia total que recorre.
1
(Use el hecho de que la pelota cae 2 tt 2 metros en
t segundos).
(b) Calcule el tiempo total que la pelota viaja.
(c) Suponga que cada vez que la pelota golpea la superficie
con velocidad v rebota con velocidad kv, donde
0 k 1. ¿Cuánto tiempo le tomará a la pelota llegar al
reposo?
59.
¿Cuál es el valor de c si
n2
1 c n 2?
60. Encuentre el valor de c tal que
e nc 10
n0
61. En el ejemplo 7 se demostró que la serie armónica es divergente.
Aquí se resume otro método, haciendo uso del hecho de que
e x 1 x para cualquier x 0. (Vea el ejercicio 4.3.76.)
Si s n es la n-ésima suma parcial de la serie armónica, demuestre
que e s n n 1. ¿Por qué esto implica que la serie armónica
es divergente?
; 62. Dibuje las curvas y x n , 0 x 1, para n 0, 1, 2, 3, 4,...
sobre una misma pantalla. Determine las áreas entre las curvas
sucesivas y mediante geometría demuestre el hecho siguiente,
demostrado en el ejemplo 6,
1
nn 1 1
n1