calculo-de-una-variable-1

116 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
LÍMITES INFINITOS
Los límites infinitos también se pueden definir de manera exacta. La que sigue es una versión
exacta de la definición 4 de la sección 2.2.
6 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene
el número a, excepto tal vez en a misma. Entonces,
lím f x
x l a
y
M
y=M
quiere decir que para todo número positivo M hay un número positivo d tal que
si 0 x a d entonces fx M
0 a
x
a-∂ a+∂
FIGURA 10
Esto establece que los valores de fx se pueden hacer arbitrariamente grandes (más
grandes que cualquier número dado M) al acercar x lo suficiente a a (a una distancia
d, donde d depende de M, pero x a). Una representación geométrica se ilustra en la
figura 10.
Dada una línea horizontal y M, puede hallar un número d 0 tal que si restringe
a que x se sitúe en el intervalo a d, a d donde x a, entonces la curva y fx
queda por arriba de la recta y M. Se puede ver si escoge una M más grande, entonces
se requeriría una d más pequeña.
V
EJEMPLO 5 Aplique la definición 6 para demostrar que lím .
x 2
x l 0
1
SOLUCIÓN Sea M un número positivo determinado. Busca un número d tal que
si 0 x d entonces 1x 2 M
1
Pero &fi x 2 1 &fi
x M 2 M
x 1
sM
1sM
1sM
Si seleccionamos y 0 x , entonces 1x 2 M. Esto demuestra
que 1x 2 l cuando x l 0.
y
a-∂
a+∂
La que sigue es una versión exacta de la definición 5 de la sección 2.2. Se ilustra en la
figura 11.
a
0 x
N
y=N
FIGURA 11
7 DEFINICIÓN Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene el
número a, excepto posiblemente para a misma. Entonces
lím f x
x l a
quiere decir que para todo número negativo N hay un número positivo d tal que
si 0 x a d entonces fx N