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PROYECTO DE APLICACIÓN LA FORMA DE UNA LATA |||| 333
(a) Aplique la ley de Poiseuille para demostrar que la resistencia
total de la sangre a lo largo de la trayectoria en
ABC es
R C a b cot
4
b csc
4
r 1 r 2
donde a y b son las distancias que se ven en la figura.
(b) Pruebe que esta resistencia se minimiza cuando
cos r 4 2
r 4 1
(c) Encuentre el ángulo óptimo de ramificación (correcto hasta
el grado más cercano) cuando el radio del vaso sanguíneo
menor es dos tercios el radio del mayor.
73. Los ornitólogos han determinado que algunas especies de
pájaros tienden a evitar vuelos sobre grandes masas de agua
durante las horas diurnas. Se cree que se requiere más energía
para volar sobre al agua que sobre la tierra porque, en
general, el aire se eleva sobre la tierra y cae sobre el agua
durante el día. Se libera un pájaro con estas tendencias desde
una isla que está a 5 km del punto más cercano B de una costa
recta, vuela hasta un punto C de la costa y luego a lo largo
de ésta hasta la zona D en que se encuentra su nido. Suponga
que el pájaro busca de manera instintiva una trayectoria que
minimice su consumo de energía. Los puntos B y D están
separados 13 km.
(a) En general, si consume 1.4 veces más energía para volar
sobre el agua que sobre la tierra, ¿hasta cuál punto C debe
volar el pájaro para minimizar el consumo total de energía
de regreso a la zona donde está su nido?
(b) Denote con W y L la energía (en joules) por kilómetro
volado sobre el agua y sobre la tierra, respectivamente.
¿Qué significaría un valor grande de la proporción WL en
términos del vuelo del pájaro? ¿Qué significado tendría
un valor pequeño? Determine la proporción WL correspondiente
al consumo mínimo de energía.
(c) ¿Cuál debe ser el valor de WL para que el ave vuele directamente
hasta la zona D donde está su nido? ¿Cuál tiene
que ser el valor de WL para que vuele hasta B y, a continuación,
a lo largo de la costa hasta D?
(d) Si los ornitólogos observan que los pájaros de ciertas especies
alcanzan la costa en un punto a 4 km de B, ¿cuántas
veces más energía consume un ave para volar sobre el agua
que sobre la tierra?
5 km
B
isla
; 74. Se colocan dos fuentes luminosas de intensidad idéntica separadas
10 m. Un objeto está en un punto P, sobre una recta
paralela a la recta que une las fuentes luminosas y a una
distancia de d metros de esta línea (véase la figura). Desea
localizar P sobre de manera que se minimice la intensidad
de la iluminación. Necesita aplicar el hecho de que la intensidad
de la iluminación de una sola fuente es directamente
proporcional a la intensidad de ésta e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia a ella.
(a) Encuentre una expresión para la intensidad Ix en el
punto P.
(b) Si d 5 m, use las gráficas de Ix e Ix para demostrar
que la intensidad se minimiza cuando x 5 m, es decir,
cuando P está en el punto medio de .
(c) Si d 10 m, demuestre que la intensidad (quizás de modo
sorprendente) no se minimiza en el punto medio.
(d) En algún lugar entre d 5 m y d 10 m se tiene un valor
de transición de d en el cual el punto de iluminación mínima
cambia de manera abrupta. Estime este valor de d
mediante métodos gráficos. Enseguida, encuentre el valor
exacto de d.
x
C
13 km
P
10 m
d
D
nido
PROYECTO DE
APLICACIÓN
LA FORMA DE UNA LATA
r
h
En este proyecto se investiga el modo más económico de formar una lata. En primer lugar, esto significa
que se da el volumen V de una lata cilíndrica y necesita hallar la altura h y el radio r que minimice
el costo del metal para fabricarla (véase la figura). Si hace caso omiso de cualquier desecho de
metal en el proceso de fabricación, el problema es minimizar el área superficial del cilindro. En el
ejemplo 2 de la sección 4.7, resolvió este problema y halló que h 2r; es decir, la altura debe ser
igual al diámetro. Pero si usted va a su alacena o al supermercado con una regla, descubrirá que la
altura suele ser mayor que el diámetro y que la relación hr varía desde 2 hasta alrededor de 3.8.
Vea si puede explicar este fenómeno.
1. El material para las latas se corta de láminas metálicas. Los costados cilíndricos se forman al
doblar rectángulos; estos rectángulos se cortan de la hoja con poco o ningún desperdicio. Pero