calculo-de-una-variable-1

408 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
77. Un tanque de almacenamiento de petróleo se rompe en t 0
y el petróleo se fuga del tanque en una proporción de r(t)
100 e0.01t litros por minuto. ¿Cuánto petróleo se escapa durante
la primera hora?
78. Una población de bacterias se inicia con 400 ejemplares y
crece con una rapidez de rt 450.268e 1.12567t bacterias por
hora. ¿Cuántos especímenes habrá después de tres horas?
79. La respiración es cíclica y un ciclo respiratorio completo
—desde el principio de la inhalación hasta el final de la
exhalación— requiere alrededor de 5 s. El gasto máximo de
aire que entra en los pulmones es de más o menos 0.5 Ls. Esto
explica en parte por qué a menudo se ha usado la función
f t 1 2 sen2t5 para modelar el gasto de aire hacia los
pulmones. Úselo para hallar el volumen de aire inhalado en
los pulmones en el tiempo t.
80. Alabama Instruments Company ha montado una línea de producción
para fabricar una calculadora nueva. El índice de producción
de estas calculadoras, después de t semanas es
2
dx
dt 5000 1 100 calculadorassemana
t 10
(Advierta que la producción tiende a 5000 por semana a medida
que avanza el tiempo, pero que la producción inicial es más
baja debido a que los trabajadores no están familiarizados con
las técnicas nuevas.) Encuentre la cantidad de calculadoras
producidas desde el principio de la tercera semana hasta el final
de la cuarta.
y 4
0
y 9
0
y 2
0
81. Si f es continua y f x dx 10, encuentre f 2x dx.
y 3
0
82. Si f es continua y f x dx 4, encuentre xfx 2 dx.
83. Si f es continua sobre , demuestre que
Para el caso donde f x 0 y 0 a b, dibuje un diagrama
para interpretar geométricamente esta ecuación como una
igualdad de áreas.
84. Si f es continua sobre , demuestre que
Para el caso donde f x 0, dibuje un diagrama para
interpretar geométricamente esta ecuación como una
igualdad de áreas.
85. Si a y b son números positivos, demuestre que
86. Si f es continua en [0, p], utilice la sustitución u x para
demostrar que
y xfsen x dx y
0 2 f sen x dx 0
87. Mediante el ejercicio 86 calcule la integral
x sen x
y0
1 cos 2 x dx
88. (a) Si f es continua, comprobar que
2
2
y fcos x dx y fsen x dx
0
(b) Aplique el inciso (a) para valorar
2
y cos 2 2
x dx y y sen 2 x dx
0
y 1
0
y b
a
y b
a
x a 1 x b dx y 1
x b 1 x a dx
0
f x dx y a
f x dx
f x c dx y bc
f x dx
0
b
0
ac
REVISIÓN DE CONCEPTOS
5
REPASO
1. (a) Escriba una expresión para una suma de Riemann de una
función f. Explique el significado de la notación que use.
(b) Si f(x) 0, ¿cuál es la interpretación geométrica de una
suma de Riemann? Ilustre la respuesta con un
diagrama.
(c) Si f(x) toma tanto valores positivos como negativos, ¿cuál
es la interpretación geométrica de una suma de Riemann?
Ilustre la respuesta con un diagrama.
2. (a) Escriba la definición de la integral definida de una
función continua, desde a hasta b.
(b) ¿Cuál es la interpretación geométrica de x b f x dx si f(x)
a
0?
(c) ¿Cuál es la interpretación geométrica de x b f x dx si f(x)
a
toma valores tanto positivos como negativos?
Ilustre la respuesta con un diagrama.
3. Enuncie las dos partes del teorema fundamental del cálculo.
4. (a) Enuncie el teorema del cambio total.
(b) Si rt es la proporción a la cual el agua fluye hacia un
depósito, ¿qué representa x t2
rt dt?
t1
5. Suponga que una partícula se mueve hacia adelante y hacia atrás
a lo largo de una recta con una velocidad n(t), medida en pies
por segundo, y una aceleración a(t).
(a) ¿Cuál es el significado de vt dt?
x 120
60
x 120
x 120
(b) ¿Cuál es el significado de ?
60 vt dt
(c) ¿Cuál es el significado de at dt?
60
6. (a) Explique el significado de la integral indefinida x f x dx.
(b) ¿Cuál es la relación entre la integral definida x b f x dx y la
a
integral indefinida x f x dx?
7. Explique con exactitud qué significa la proposición de que “la
derivación y la integración son procesos inversos”.
8. Enuncie la regla de sustitución. En la práctica, ¿cómo puede
usarla?