calculo-de-una-variable-1

472 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
& En la figura 5 se muestran las gráficas
del integrando del ejemplo 7 y su integral
indefinida (con C 0 ). ¿Cuál es cuál?
3
_4
2
Ahora se sustituye u 2 sen u, y se obtiene du 2 cos d y s4 u 2 2 cos , de
tal manera,
y
x
s3 2x x dx y 2 sen 1
2 cos d
2 2 cos
y 2sen 1 d
2 cos
C
s4 u 2 sen 1 u 2 C
FIGURA 5
_5
s3 2x x 2 sen 1 x 1
2
C
7.3
EJERCICIOS
1–3 Evalúe la integral por medio de la sustitución trigonométrica
indicada. Bosqueje y marque el triángulo rectángulo relacionado.
1
1. y
;
x 2 sx 2 9 dx
2. y x 3 s9 x 2 dx;
x 3 sen
x
y
3
3. ; x 3 tan
sx 2 9 dx
4–30 Evalúe la integral.
x 3 sec
21.
y 0.6
0
x 2
s9 25x 2 dx
22.
23. y s5 4x x 2 dx
24.
x
25. y
26.
sx 2 x 1 dx
27. y sx 2 2x dx
28.
29. y xs1 x 4 dx
30.
y 1
0 sx 2 1 dx
y
y
y
dt
st 2 6t 13
x 2
3 4x 4x 2 32
dx
x 2 1
x 2 2x 2 dx 2
2
y0
cos t
s1 sen 2 t dt
4.
5. y 2 1
6. y 2
s2 t 3 st 2 1 dt
1
7. 1
y
8. y
x 2 s25 x dx 2
dx
9. y
10.
sx 2 16
11. y s1 4x 2 dx
12.
13.
y 2 s3
0
y sx 2 9
x 3 dx
y a
x 3
s16 x 2 dx
14.
15. x sa 16. y 23
2 2 x 2 dx
0
s23
17. x
y
18. y
sx 2 7 dx
19. y s1 x 2
dx
20. y
x
y
y 1
xsx 2 4 dx
0
y
sx 2 1
x
x 3
sx 2 100 dx
t 5
st 2 2 dt
du
us5 u 2
dx
sx 2 1
x 5 s9x 2 1
dx
ax 2 b 2 32
t
s25 t 2 dt
31.
(a) Use la sustitución trigonométrica para mostrar que
(b) Use la sustitución hiperbólica x a senh t para mostrar
que
senh1 dx
y
sx 2 a a x C
2
32. Evalúe
y
dx
sx 2 a 2 ln(x sx 2 a 2 ) C
Estas fórmulas se relacionan mediante la fórmula 3.11.3.
y
x 2
x 2 a 2 32
dx
(a) por sustitución trigonométrica.
(b) mediante la sustitución hiperbólica x a senh t .
33. Encuentre el valor promedio de f x sx 2 1x, 1 x 7.
34. Determine el área de la región acotada por la hipérbola
9x 2 4y 2 36 y la recta x 3.