calculo-de-una-variable-1

46.
3
lím
n l n 1 3i
3
21
i1 n n
n
3i
47. Demuestre la fórmula para la suma de una serie geométrica
finita con primer término a y razón común r 1:
n
ar i1 a ar ar 2 ar n1 ar n 1
i1
r 1
48. Evalúe
49. Evalúe
n
i1
n
i1
50. Evalúe
i1 m
n
APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS |||| A39
3
2 i1
2i 2 i
j1
i j
F
PRUEBAS DE TEOREMAS
En este apéndice se prueban varios teoremas que están expresados en el cuerpo principal
del texto. Las secciones en las que ocurren están indicadas al margen.
SECCIÓN 2.3 LEYES DE LÍMITES Suponga que c es una constante y que los límites
existen. Entonces
lím
1. lím f x tx L M 2.
x l a
lím
3. lím cfx cL
4.
x l a
lím f x L
x l a
f x
5. lím
si M 0
x l a tx L M
y
tx M
x l a
f x tx L M
x l a
lím f xtx LM
x l a
PRUEBA DE LA LEY 4 Sea 0. Desea hallar tal que
si
0 x a
0
entonces
f x L
f xtx LM
tx M
Para obtener términos que contengan y , sume y reste Ltx
como sigue:
f xtx LM f xtx Ltx Ltx LM
f x Ltx Ltx M
f x Ltx Ltx M
f x L tx L tx M
(desigualdad del triángulo)
Desea hacer que cada uno de estos términos sea menor a 2.
Como lím x l a tx M , hay un número 1 0 tal que
si
0 x a
1
entonces
También, hay un número 2 0 tal que si , entonces
0 x a
tx M
tx M 1
y por lo tanto
tx tx M M tx M M 1 M
2
2(1 L )