calculo-de-una-variable-1

142 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
39–44 Hallar las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si
tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la
curva y estimando las asíntotas.
39. y 2x 1
40. y
x 2
41.
y 2x2 x 1
x 2 x 2
42.
x 3 x
43. y
44. y
x 2 6x 5
; 45. Estimar la asíntota horizontal de la función
fx
mediante la gráfica de f para 10 x 10. Después calcule
la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la
discrepancia?
; 46. (a) Grafique la función
¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Use la
gráfica para estimar el valor de los límites
s2x 2 1
lím
x l 3x 5
y
(b) Calcular los valores de fx, proporcione estimaciones
numéricas de los límites del inciso (a).
(c) Calcular los valores exactos de los límites en el inciso (a)
obtenga el mismo valor o valores diferentes de esos dos
límites [con respecto a su respuesta del inciso (a), tendrá
que verificar su cálculo para el segundo límite].
47. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las
condiciones siguientes:
lím f x 0 , lím f x , f2 0,
x l x l0
lím f x ,
x l3
48. Plantee una fórmula para una función cuyas asíntotas verticales
son x 1 y x 3 y asíntota horizontal y 1.
49–52 Determine los límites cuando x l y cuando x l .
Utilice esta información junto con las intersecciones para conseguir
un esbozo de la gráfica como en el ejemplo 11.
49. y x 4 x 6 50. y x 3 x 2 2 x 1
51. y 3 x1 x 2 1 x 4
52. y x 2 x 2 1 2 x 2
3x 3 500x 2
x 3 500x 2 100x 2000
fx s2x2 1
3x 5
lím f x
x l3 x 2 1
2x 2 3x 2
y 1 x4
x 2 x 4
2ex
e x 5
s2x 2 1
lím
x l 3x 5
53. (a) Aplique el teorema de la compresión para evaluar
sen x
lím .
x l x
; (b) Grafique fx sen xx. ¿Cuántas veces la gráfica corta
la asíntota?
; 54. Por comportamiento al final de una función debe dar a
entender una descripción de lo que sucede a sus valores cuando
x l y cuando x l .
(a) Describa y compare el comportamiento al final de las
funciones
Px 3x 5 5x 3 2x Qx 3x 5
dibujando las dos funciones en los rectángulos de visualización
2, 2 por 2, 2 y 10, 10 por 10 000,
10 000.
(b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento
al final si su relación tiende a 1 cuando x l . Demuestre
que P y Q tienen el mismo comportamiento al final.
55. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre
Px
lím
x l Qx
si el grado de P es (a) menor que el grado de Q y (b) mayor
que el grado de Q.
56. Haga un boceto aproximado de la gráfica de la curva y x n (n
un entero) para los cinco casos siguientes:
(i) n 0
(ii) n 0, n impar
(iii) n 0, n par (iv) n 0, n impar
(v) n 0, n par
Después use estos bocetos para encontrar los límites siguientes.
57.
(a)
lím x n
x l0
10e x 21
f x 5sx
2e x sx 1
58. (a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea
salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al
depósito a una proporción de 25 Lmin. Demuestre que
la concentración de sal t minutos después (en gramos por
litro) es
Ct
(b)
lím x n
x l0
lím x n
x l
(c) lím x n
(d)
x l
Determine lím xl fx si, para toda x 1,
30t
200 t
(b) ¿Qué sucede con la concentración cuando t l ?
59. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis,
la velocidad vt de una gota de lluvia que cae, en el instante
t, es
vt v*1 e ttv*
donde t es la aceleración debida a la gravedad y v* es la
velocidad terminal de la gota de lluvia.
(a) Encuentre lím tl vt.