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SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 291
Esto quiere decir que la derivada f es una función creciente y, por lo tanto, su derivada f es
positiva. En forma similar, en la figura 6(b) la pendiente de la tangente disminuye de izquierda
a derecha, por lo que f decrece y, por consiguiente, f es negativa. Este razonamiento se
puede invertir y lleva a pensar que el teorema siguiente es verdadero. En el apéndice F se presenta
una demostración con la ayuda del teorema del valor medio.
PRUEBA DE LA CONCAVIDAD
(a) Si f x 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba
sobre I.
(b) Si f x 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia
abajo sobre I.
EJEMPLO 4 En la figura 8 se ilustra una gráfica de una población de las abejas mieleras
que han sido criadas en un apiario. ¿Cuál es el incremento de la proporción de población
con respecto al tiempo? ¿Cuándo este incremento alcanza su punto más alto? ¿En qué intervalos
P es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo?
P
80
Cantidad de abejas
(en miles)
60
40
20
FIGURA 8
0
3
6 9 12 15
Tiempo (semanas)
18
t
SOLUCIÓN Al examinar la pendiente de la curva cuando t se incrementa, se ve que la
proporción del incremento de la población es al principio muy pequeña, luego aumenta
hasta que alcanza un valor máximo alrededor de t 12 semanas, y disminuye cuando
la población empieza a nivelarse. A medida que la población se aproxima a su valor
máximo de casi 75 000 (que se denomina capacidad conducción, el incremento, Pt,
tiende a 0. Al parecer, la curva es cóncava hacia arriba en 0, 12 y cóncava hacia abajo
en 12, 18.
En el ejemplo 4, la curva de población pasó de cóncava hacia arriba a cóncava hacia
abajo por el punto 12, 38 000. Este punto se llama punto de inflexión de la curva. La
importancia de este punto es que el valor máximo del incremento de la población está
allí. En general, un punto de inflexión es un punto donde cambia de dirección la concavidad
de una curva.
DEFINICIÓN Un punto P en una curva y f x recibe el nombre de punto de
inflexión si f es continua ahí y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava
hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en P.
Por ejemplo, en la figura 7, B, C, D y P son los puntos de inflexión. Observe que si una
curva tiene una tangente en un punto de inflexión, después la curva corta a la tangente en
ese punto.
De acuerdo con la prueba de concavidad, hay un punto de inflexión en cualquier punto
donde la segunda derivada cambia de signo.