calculo-de-una-variable-1

744 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
V EJEMPLO 10
(a) Evalúe x e x 2 dx como una serie infinita.
(b) Evalúe x 1 2 de tal manera que no difiera 0.001 del valor real.
0 ex dx
SOLUCIÓN
(a) Primero encuentre la serie de Maclaurin de f x e x 2
. Aunque es posible usar el
método directo, determinémosla simplemente mediante el reemplazo de x con x 2 en la
serie de e x dada en la tabla 1. Por esto, para todos los valores de x,
e x 2
n0
x 2 n
n!
n0
1 n x 2n
n! 1 x 2
1! x 4
2! x 6
3!
Ahora integre término a término
y e x 2 dx y 1 x 2
C x x 3
3 1! x 5
5 2! x 7
Esta serie es convergente para toda x porque la serie original para
toda x.
(b) El teorema fundamental del cálculo
1! x 4
2! x 6
2n
x
1n
3! n! dx
7 3! 1n
x 2n1
2n 1n!
e x 2
converge para
& Es posible hacer C 0 en la antiderivada
del inciso (a).
y 1
e x 2 dx x x 3
0
3 1! x 5
5 2! x 7
7 3! x 9
1
9 4! 0
1 1 3 1 10 1 42 1
216
1 1 3 1 10 1 42 1
216 0.7475
El teorema de estimación de la serie alternante demuestra que el error que hay en esta
aproximación es menor que
1
11 5! 1
1320 0.001
Otra aplicación de la serie de Taylor se ilustra en el ejemplo siguiente. El límite podría
ser calculado con la regla de l’Hospital, pero en lugar de hacerlo así se recurre a
las series.
e x 1 x
EJEMPLO 11 Evalúe lím
.
x l 0 x 2
SOLUCIÓN Al utilizar la serie de Maclaurin para
e x
& Algunos sistemas algebraicos computacionales
calculan los límites de esta manera.
1 x x
2
e x 1 x
1! 2! x 3
3! 1 x
lím
lím
x l 0 x 2
x l 0
x 2
x 2
2! x 3
3! x4
4!
lím
x l 0
lím
x l 0
1 2 x 3! x 2
porque las series de potencias son funciones continuas.
x 2
4! x 3
5! 1 2