calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.2 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS |||| 637
32. Encuentre el área acotada por la curva x t 2 2t, y st y el
eje y.
33. Encuentre el área por el eje x y la curva x 1 e t , y t t 2 .
34. Encuentre el área de la región encerrada por la astroide
x a cos 3 u, y a sen 3 u. Las astroides se exploran en el proyecto
de laboratorio en la página 629.
y
a
49. Use la regla de Simpson con n 6 para estimar la longitud de
la curva x t e t , y t e t , 6 t 6.
50. En el ejercicio 43 de la sección 10.1 se pidió deducir las ecuaciones
paramétricas x 2a cot u, y 2a sen 2 u para la curva
llamada bruja de María Agnesi. Use la regla de Simpson con
n 4 para estimar la longitud del arco de esta curva dado por
p4 u p2.
51–52 Encuentre la distancia recorrida por una partícula con posición
x, y cuando t varía en el intervalo de tiempo dado. Compare
con la longitud de la curva.
_a
0 a
x
51. x sen 2 t, y cos 2 t,
52. x cos 2 t, y cos t,
0 t 3
0 t 4
35. Determine el área bajo un arco de la trocoide del ejercicio 40
en la sección 10.1 para el caso d < r.
36. Sea la región encerrada por el bucle de la curva en el
ejemplo 1.
(a) Encuentre el área de .
(b) Si se hace girar respecto al eje x, encuentre el volumen
del sólido resultante.
(c) Encuentre el centroide de .
37–40 Establezca una integral que represente la longitud de la curva.
A continuación use su calculadora para hallar la longitud correcta
a cuatro lugares decimales.
37. x t t 2 , y 4 3 t 32 , 1 t 2
38. x 1 e t , y t 2 , 3 t 3
39. x t cos t, y t sen t,
40. x ln t, y st 1,
41–44 Determine la longitud de la curva.
41. x 1 3t 2 , y 4 2t 3 , 0 t 1
42. x e t e t , y 5 2t,
0 t 3
43. x
t , y ln1 t,
1 t
44. x 3 cos t cos 3t , y 3 sen t sen 3t ,
; 45–47 Grafique la curva y encuentre su longitud.
45. x e t cos t, y e t sen t,
46. x cos t ln(tan 1 2 t) , y sen t,
47. x e t t, y 4e t2 ,
_a
1 t 5
0 t 2
0 t
8 t 3
0 t 2
0 t
4 t 34
48. Estime la longitud del bucle de la curva x 3t t 3 , y 3t 2 .
CAS
CAS
53. Muestre que la longitud total de la elipse x a sen ,
y b cos , a b 0, es
L 4a y
2
donde e es la excentricidad de la elipse (e ca, donde
c sa 2 b 2 ).
54. Encuentre la longitud total de la astroide ,
y a sen 3
x a cos 3
, donde a 0.
55. (a) Grafique la epitocroide con ecuaciones
x 11 cos t 4cos11t2
y 11 sen t 4 sen11t2
¿Qué intervalo de parámetro da la curva completa?
(b) Use su CAS para determinar la longitud aproximada de
esta curva.
56. Una curva llamada espiral de Cornu se define mediante las
ecuaciones paramétricas
x Ct y t
cosu 2 2 du
y St y t
senu 2 2 du
donde C y S son las funciones de Fresnel que se introdujeron
en el capítulo 5.
(a) Grafique esta curva. ¿Qué sucede cuando t l y cuando
t l ?
(b) Determine la longitud de la espiral de Cornu del origen al
punto con valor de parámetro t.
57–58 Establezca una integral que represente el área de la superficie
obtenida al hacer girar la curva dada respecto al eje x. A continuación
use su calculadora para hallar el área superficial correcta a
cuatro lugares decimales.
57. x 1 te t , y (t 2 1)e t ,
0 t 1
58. x sen 2 t, y sen 3t, 0 t 3
0
s1 e 2 sen 2
0
0
d