calculo-de-una-variable-1

512 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
y
y=ƒ
x=b
una dirección horizontal. Aquí la región es infinita en una dirección vertical.) El área de la
parte S entre a y t (la región sombreada en la figura 7) es
At y t
f x dx
a
0
a
t b
x
Si sucede que At se aproxima a un número definido A cuando t l b , entonces se dice
que el área de la región S es A y se escribe
FIGURA 7
y b
f x dx lím
a
t l b yt f x dx
a
Se emplea esta ecuación para definir una integral impropia de tipo 2 aun cuando f no es
una función positiva, sin importar qué tipo de discontinuidad tenga f en b.
3 DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL IMPROPIA DE TIPO 2
(a) Si f es continua en a, b y es discontinua en b, entonces
& Los incisos (b) y (c) de la definición 3 se
ilustran en las figuras 8 y 9 para el caso donde
f x 0 y f tiene asíntotas verticales en a y c,
respectivamente.
y
y b
f x dx lím
a
t l b yt f x dx
a
si este límite existe (como un número finito).
(b) Si f es continua en a, b y es discontinua en a, entonces
y b
f x dx lím
a
t l a
y b
t
f x dx
si este límite existe (como un número finito).
0
at
b
x
x b a
La integral impropia f x dx se llama convergente si existe el límite correspondiente
y divergente si no existe el límite.
FIGURA 8
y
(c) Si f tiene una discontinuidad en c, donde a c b, y ambas integrales
f x dx y f x dx son convergentes, entonces se define
xc a
x b c
y b
a
f x dx y c
f x dx y b
f x dx
a
c
0
FIGURA 9
a c b
x
EJEMPLO 5 Determine y 5 1
.
2 sx 2 dx
SOLUCIÓN Se nota primero que la integral dada es impropia porque f x 1sx 2
tiene la asíntota vertical x 2. Puesto que la discontinuidad infinita aparece en el punto
final izquierdo de 2, 5, se usa el inciso (b) de la definición 3:
y
0
FIGURA 10
y= 1
œ„„„„ x-2
área=2œ„3
1 2 3 4 5
x
y 5
2
dx
sx 2 lím y 5
t l2 t
lím 2sx 2] 5
t l2 t
lím 2(s3 st
t l2
2)
2s3
dx
sx 2
Así, la integral impropia dada es convergente y, puesto que el integrando es positivo,
se puede interpretar el valor de la integral como el área de la región sombreada en la
figura 10.