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250 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
se usan porque u está cerca de 0. Los resultados de los cálculos que se efectúan con estas aproximaciones
se convierten en la herramienta teórica básica que se utiliza para diseñar lentes.
[Véase Optics, 4a. edición, por Eugene Hecht (San Francisco: Addison Wesley, 2002), p. 154]
En la sección 11.11 aparecen varias aplicaciones de la idea de las aproximaciones lineales
a la física.
DIFERENCIALES
& Si dx 0, puede dividir ambos lados de la
ecuación 3 entre dx para obtener
dy
dx f x
Antes ha visto ecuaciones similares, pero
ahora el lado izquierdo puede interpretarse
en forma genuina como una relación de
diferenciales.
y
0 x x+Îx x
FIGURA 5
P
y=ƒ
Q
dx=Îx
R
S
Îy
dy
Las ideas detrás de las aproximaciones lineales en ocasiones se formulan en la terminología
y la notación de diferenciales. Si y f x, donde f es una función derivable, entonces
la diferencial dx es una variable independiente; esto es, dx es cualquier número real. La
diferencial dy se define por lo tanto en términos de dx mediante la ecuación
3
De modo que dy es una variable dependiente; depende de los valores de x y dx. Si a dx se
le da un valor específico y x se considera como algún número específico en el dominio de
f, entonces se determina el valor numérico de dy.
En la figura 5 se muestra el significado geométrico de los diferenciales. Sean Px, f x
y Qx x, f x x puntos sobre la gráfica de f y sea dx x. El cambio correspondiente
en y es
La pendiente de la recta tangente PR es la derivada f x. Por esto, la distancia dirigida
de S a R es f x dx dy. Por consiguiente, dy representa la cantidad que la recta tangente
se levanta o cae (el cambio en la linealización), en tanto que y representa la cantidad
que la curva y f x se levanta o cae cuando x cambia en una cantidad dx.
EJEMPLO 3 Compare los valores de y y dy si y f x x 3 x 2 2x 1 y x cambia
(a) de 2 a 2.05 y (b) de 2 a 2.01.
SOLUCIÓN
(a) Tiene
dy f x dx
y f x x f x
f 2 2 3 2 2 22 1 9
f 2.05 2.05 3 2.05 2 22.05 1 9.717625
y f 2.05 f 2 0.717625
& En la figura 6 se ilustra la función del ejemplo 3
y una comparación de dy y y cuando a 2. El
rectángulo de visión es 1.8, 2.5 por 6, 18.
En general,
dy f x dx 3x 2 2x 2 dx
Cuando x 2 y dx x 0.05, esto se transforma en
y=˛+≈-2x+1
(b)
dy 32 2 22 20.05 0.7
f 2.01 2.01 3 2.01 2 22.01 1 9.140701
dy
Îy
y f 2.01 f 2 0.140701
(2, 9)
Cuando dx x 0.01,
FIGURA 6
dy 32 2 22 20.01 0.14