Analysis

100 KAPITEL II. FUNKTIONEN EINER VERÄNDERLICHEN
eine Menge R ⊂ P(Q) von Teilmengen der Menge Q aller rationalen Zahlen,
R :=
⎧
⎪⎨
α ⊂ Q
⎪⎩
α ist nicht leer,
α hat eine untere Schranke,
α hat kein kleinstes Element,
α enthält mit x auch jedes y > x.
Man nennt solch ein α einen Dedekind’schen Schnitt und bezeichnet die
so konstruierte Menge R als das “Dedekind’sche Modell der reellen Zahlen”.
Auf unserer Menge R von Teilmengen von Q ist die Inklusionsrelation eine
Anordnung und wir schreiben α ≤ β statt α ⊃ β. Ist Y ⊂ R eine nichtleere
Teilmenge mit unterer Schranke, so liegt offensichtlich auch die Vereinigung
α = {q ∈ Q | Es gibt α ∈ Y mit q ∈ α}
α∈Y
aller Teilmengen aus Y in R und ist das Infimum von Y . Damit haben wir
bereits eine angeordnete Menge mit der geforderten Eigenschaft konstruiert.
Wir müssen darauf nur noch eine Addition und eine Multiplikation erklären
derart, daß unsere Struktur zu einem angeordneten Körper wird. Die
Addition ist unproblematisch: Wir setzen
α + β := {x + y | x ∈ α, y ∈ β}
und prüfen mühelos, daß aus α, β ∈ R schon folgt α+β ∈ R, daß R so zu einer
kommutativen Gruppe wird mit neutralem Element 0R = {x ∈ Q | x > 0},
und daß gilt α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ für alle α, β, γ ∈ R. Wir erlauben
uns nun die Abkürzung 0R = 0. Die Multiplikation positiver Elemente ist
ebenfalls unproblematisch: Für α, β ∈ R mit α > 0, β > 0 setzen wir
αβ := {xy | x ∈ α, y ∈ β}
und prüfen mühelos, daß aus α, β ∈ R>0 schon folgt αβ ∈ R>0 und daß R>0
so zu einer kommutativen Gruppe mit neutralem Element 1R = {x ∈ Q | x >
1} wird. Das Distributivgesetz in Q impliziert mit diesen Definitionen auch
sofort die Regel
α(β + γ) = αβ + αγ
für alle α, β, γ ∈ R>0. Um unsere Multiplikation so auf ganz R auszudehnen,
daß R ein angeordneter Körper wird, verwenden wir das anschließende technische
Lemma 1.4.6. Der Beweis der in Teil 2 behaupteten Eindeutigkeit ist
dann Übung 1.4.18.
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