Analysis

646 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
2. Ist g : A → Y gleichmäßig stetig und Y vollständig, besitzt g genau
eine Fortsetzung zu einer stetigen Abbildung ˜g : X → Y.
1.4.13. Im Wesentlichen haben Sie das Lemma bereits als Übung II.7.5.5 gezeigt.
Die Abbildung (0, 1) → R, x ↦→ (1/x) ist stetig, aber nicht gleichmäßig
stetig, und läßt sich nicht stetig auf die Vervollständigung [0, 1] des offenen
Intervalls (0, 1) fortsetzen.
Ergänzung 1.4.14. In VI.3.6.8 wird erklärt, unter welchen Voraussetzungen
sich die erste Aussage auf den Fall topologischer Räume verallgemeinern läßt.
Die zweite Aussage läßt sich allgemeiner für sogenannte “uniforme Räume”
zeigen, wie sie in VI.10.7 eingeführt werden. Wir gehen hier darauf nicht
näher ein.
Beweis. Gegeben x ∈ X finden wir eine Folge an in A mit limn→∞ an = x.
Natürlich muß für jede stetige Erweiterung ˜g von g gelten
lim
n→∞ g(an) = ˜g(x)
und das zeigt auch schon die Eindeutigkeit von ˜g. Ist g nun gleichmäßig
stetig, so ist mit an auch g(an) eine Cauchy-Folge, und ist Y vollständig,
so muß g(an) konvergieren. Haben weiter zwei Folgen an, bn in A denselben
Grenzwert x, so strebt auch die Folge cn mit den Gliedern a1, b1, a2, b2, . . .
gegen x. Wir folgern
lim
n→∞ g(an) = lim g(cn) = lim g(bn)
n→∞ n→∞
und können also definieren ˜g(x) = limn→∞ g(an) für eine und jede Folge an
aus A, die gegen x strebt. Wir müssen nur noch zeigen, daß ˜g stetig ist. Sei
dazu für ε > 0 ein δ > 0 gegeben mit d(a, b) ≤ δ ⇒ d(g(a), g(b)) ≤ ε. Wir
zeigen d(x, z) ≤ δ/2 ⇒ d(˜g(x), ˜g(z)) ≤ ε für alle x, z ∈ X. In der Tat, ist
x = limn→∞ an und z = limn→∞ bn, so folgt aus der Dreiecksungleichung
d(an, bn) ≤ δ für fast alle n und damit d(g(an), g(bn)) ≤ ε für fast alle n und
dann im Grenzwert auch d(˜g(x), ˜g(z)) ≤ ε mithilfe der Stetigkeit der Metrik
d : Y × Y → R nach II.6.2.23.
1.4.15. Wir erinnern daran, daß nach ?? eine lineare Abbildung zwischen zwei
Hilberträumen oder allgemeiner zwei Prähilberträumen L : H → H ′ unitär
heißt genau dann, wenn sie das Skalarprodukt erhält, wenn also in Formeln
gilt 〈Lv, Lw〉 = 〈v, w〉 ∀v, w ∈ H.
1.4.16. Eine unitäre Einbettung von einem Hilbertraum in einen Prähilbertraum
und allgemeiner eine normerhaltende Einbettung von einem Banachraum
in einen weiteren normierten Vektorraum hat stets abgeschlossenes
Bild. In der Tat ist nach II.7.5.3 eine vollständige Teilmenge eines metrischem
Raums stets abgeschlossen.