Analysis

696 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Satz 2.6.4 (Translationsinvariante Teilräume in L 2 (V )). Sei V ein endlichdimensionaler
reeller Vektorraum.
1. Jeder translationsinvariante abgeschlossene Teilraum M ⊂ L 2 (V ) ist
von der Form M = L 2 (E) ∧ für eine Borelmenge E ⊂ ˆ V .
2. Gegeben eine weitere Borelmenge F ⊂ ˆ V gilt L 2 (E) ∧ = L 2 (F ) ∧ genau
dann, wenn E\F und F \E in Bezug auf ein und jedes Haarmaß
Nullmengen sind.
2.6.5. Im Fall einer Veränderlichen mag man die Aussage dieses Satzes dahingegehend
zusammenfassen, daß die translationsinvarianten abgeschlossenen
Teilräume durch die Vorgabe gewisser “erlaubter Frequenzanteile” beschrieben
werden können, also umgangssprachlich durch die Angabe des “erlaubten
Tonumfangs”.
Beweis. Die zweite Behauptung ist klar. Für die Erste wählen wir ein Haarmaß
λ und bemerken, daß ein Teilraum von L 2 (V ; λ) nach 2.5.8 invariant ist
unter allen Translationen genau dann, wenn sein Bild unter der Fouriertransformation
invariant ist unter allen Multiplikationen mit Charakteren. Damit
folgt unser Satz aus der anschließenden Proposition 2.6.6.
Proposition 2.6.6. Sei W ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
µ ein Borelmaß auf W. So hat jeder unter der Multiplikation mit allen unitären
Charakteren von W invariante abgeschlossene Teilraum M ⊂ L 2 (W ; µ)
die Gestalt M = L 2 (E) für eine Borelmenge in E ⊂ W.
Beweis. Sei P : L 2 (W ; µ) → M der orthogonale Projektor. Natürlich gilt
〈P f, g〉 = 〈P f, P g〉 = 〈f, P g〉
für alle f, g ∈ L 2 (W ; µ). Für jeden Charakter χ ∈ ˆ W gilt offensichtlich
P (χf) = χ(P f). Wir folgern 〈P f, χg〉 = 〈f, χP g〉 für alle χ ∈ ˆ W oder
ausgeschrieben
P f · χg = ¯f · χP g
Nach 2.3.19 haben aber zwei kompexe Maße nur dann dieselbe Fouriertransformierte,
wenn sie übereinstimmen. Damit folgt die Gleichheit von Maßen
(P f)gµ = ¯ f(P g)µ
Wählen wir nun g ∈ L 2 Borelmeßbar und quadratintegrierbar mit g(y) > 0
für alle y und setzen
ϕ(y) = (P g)(y)/g(y)