Analysis

536 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
6.4.2. Ist X eine Menge und A ⊂ X eine Teilmenge, so ist zum Beispiel die
charakteristische Funktion χA = [A] : X → {0, 1} von A, definiert durch
die Vorschrift
1 x ∈ A
[A](x) :=
0 x ∈ A
eine Stufenfunktion. Sie heißt auch die Indikatorfunktion von A und wird
oft alternativ 1A notiert. Ist (X, M) ein Meßraum, so ist jede reellwertige
meßbare Stufenfunktion s : X → R von der Form
n
s = ci[Ai]
i=1
für eine Zerlegung X = n
i=1 Ai von X in endlich viele paarweise disjunkte
meßbare Teilmengen und geeignete ci ∈ R, und die reellwertigen meßbaren
Stufenfunktionen bilden einen Untervektorraum im Raum aller reellwertigen
Funktionen auf X.
Definition 6.4.3 (Integral nichtnegativer reeller Stufenfunktionen).
Gegeben ein Maßraum (X, M, µ) und eine nichtnegative meßbare reellwertige
Stufenfunktion s : X → [0, ∞) erklärt man das Integral s =
s = X
sµ ∈ [0, ∞] von s über X durch die Formel
X
sµ :=
c · µ(s −1 (c))
X
c∈s(X)\0
6.4.4. Ich habe in dieser Formel den Summanden für c = 0 weggelassen, um
den Ausdruck 0 · ∞ zu vermeiden. Im folgenden erweist es sich jedoch als
bequemer, diesen Summanden zuzulassen und mit der Konvention 0 · ∞ = 0
zu arbeiten. Weiter habe ich nur c ∈ s(X) statt c ∈ R geschrieben, um eine
endliche Summe zu erhalten. Da aber die Summanden für c ∈ s(X) eh Null
sind, hätten wir, ohne etwas am Resultat zu ändern, auch über alle c ∈ R
summieren können.
6.4.5 (Eigenschaften des Integrals reeller meßbarer Stufenfunktionen).
Natürlich gilt αs = α s, ∀α ∈ (0, ∞), und ist t : X → [0, ∞) eine
zweite meßbare Stufenfunktion, so gilt s + t = s + t und mithin auch
s ≤ t ⇒ s ≤ t. In der Tat, schreiben wir Xa,b = s −1 (a) ∩ t −1 (b), so
ergibt sich mit der Additivität des Maßes unmittelbar
s + t = c c · µ c=a+b Xa,b
= a,b (a + b) · µ(Xa,b)
s = a a · µ (b
Xa,b) =
a,b a · µ(Xa,b)
t = b b · µ (a
Xa,b) =
a,b b · µ(Xa,b)
Für s = n
i=1 ci[Ai] mit ci ∈ [0, ∞) wird also das Integral gegeben durch die
Formel s =
i ciµ(Ai).