Analysis

800 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Ergänzung 2.1.27. Eine alternative und besser verallgemeinerbare Konstruktion
der Komplexifizierung wird in ?? besprochen. Ist genauer V ein reeller
Vektorraum, so ist der mithilfe des Tensorprodukts konstruierte Vektorraum
C ⊗R V kanonisch isomorph zur hier sozusagen zu Fuß konstruierten Komplexifizierung
von V .
Übung 2.1.28. Diese Übung setzt 2.1.26 fort. Gegeben reelle Vektorräume
V, V ′ und ein komplexer Vektorraum W induziert die Einschränkung vermittels
der kanonischen Einbettungen auch eine Bijektion von Räumen bilinearer
Abbildungen
BilC(VC × V ′ C, W ) ∼ → BilR(V × V ′ , W )
Man zeige weiter, daß für jede reelle Liealgebra L die in dieser Weise auf ihrer
Komplexifizierung erklärte bilineare Verknüpfung LC zu einer komplexen
Liealgebra macht.
Korollar 2.1.29. Für jede zusammenhängende Liegruppe liefert das Differenzieren
gefolgt von der kanonischen Erweiterung auf die Komplexifizierung
der Liealgebra eine Einbettung von Isomorphieklassen
⎧
⎨
⎩
Einfache endlichdimensionale
stetige komplexe Darstellungen
unserer Liegruppe
⎫
⎬
⎭ ↩→
⎧
⎨
⎩
Einfache Darstellungen
ihrer komplexifizierten
Liealgebra
Beweis. Ist G eine Liegruppe und ρ : G → GL(V ) eine stetige Darstellung
durch Automorphismen eines endlichdimensionalen komplexen Vektorraums,
so liefert das Differential beim neutralen Element einen Homomorphismus
von reellen Liealgebren dρ : Lie G → EndC(V ). Vermittels der universellen
Eigenschaft der Komplexifizierung können wir diesen Homomorphismus auf
genau eine Weise zu einer komplexlinearen Abbildung
(Lie G)C → EndC(V )
fortsetzen, die dann offensichtlich ein Homomorphismus von komplexen Liealgebren
alias eine Darstellung der komplexen Liealgebra (Lie G)C sein muß.
Das ist die Darstellung von (Lie G)C, die im Korollar gemeint ist. Natürlich
ist ein komplexer Teilraum W ⊂ V stabil unter Lie G genau dann, wenn er
stabil ist unter (Lie G)C. Zusammen mit 2.1.23 folgt das Korollar.
2.2 Einfache Darstellungen der Spingruppe
2.2.1. Jetzt können wir auch unser Versprechen einlösen und die Klassifikation
1.1.17 der einfachen Darstellungen der Drehgruppe herleiten. Wir beginnen
dem einfacheren Fall der Spingruppe SU(2).
⎫
⎬
⎭