Analysis

1150 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
16.3 Mannigfaltigkeiten, alt
Definition 16.3.1. Eine d-dimensionale C 1 -Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorff’scher
R-geringter Raum derart, daß jeder Punkt eine offene Umgebung
besitzt, die mit ihrer induzierten Struktur eines R-geringten Raums isomorph
ist zu einer offenen Teilmenge des Halbraums R≤0 × R d−1 , versehen mit der
von (R d , C 1 ) induzierten Struktur. Eine C 1 -Abbildung zwischen C 1 -Mannigfaltigkeiten
ist ein Morphismus R-geringter Räume.
16.3.2. Daß diese Definition sinnvoll ist, wird sich erst bei der weiteren Entwicklung
der Theorie herausstellen. Ich hoffe jedoch, daß sie zumindest einigermaßen
anschaulich ist.
Lemma 16.3.3. Sei U ⊂◦ R≤0×R k−1 mit der induzierten C 1 -Struktur eines Rgeringten
Raumes versehen. Ein Morphismus ϕ : U → R n ist eine Immersion
von R-geringten Räumen genau dann, wenn ϕ einen Homöomorphismus auf
sein Bild induziert und dxϕ injektiv ist für alle x ∈ U.
Beweis. Eine Immersion von geringten Räumen induziert per definitionem
stets einen Homöomorphismus auf ihr Bild. Weiter ist jede Verknüpfung von
Immersionen wieder eine Immersion. Wir brauchen also die Injektivität von
dxϕ nur im Fall k = 1 zu zeigen. Wäre aber dann dxϕ nicht injektiv bei
x = p, so hätten alle Funktionen f ◦ ϕ für eine C 1 -Funktion auf einer offenen
Teilmenge des R b verschwindende Ableitungen bei p und ϕ könnte keine
Immersion gewesen sein. Die andere Implikation wird ähnlich gezeigt wie ??
und wir überlassen die Details dem Leser.
16.3.4. In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Immersion von
Mannigfaltigkeiten meist einen injektiven Morphismus mit injektivem Differential
an jeder Stelle. Eine Immersion in diesem Sinne muß keinesfalls eine
Immersion von geringten Räumen in unserem “kategorientheoretischen” Sinn
sein.
Definition 16.3.5. Eine Karte einer Mannigfaltigkeit M ist ein Paar (W, ϕ)
bestehend aus einer offenen Teilmenge W ⊂◦ R d oder W ⊂◦ R≤0 × R d−1 und
einer offenen Immersion ϕ : W ↩→ M. Ein Atlas einer Mannigfaltigkeit ist
eine Familie von Karten, deren Bilder M überdecken. Der Kartenwechsel
von einer Karte (Wα, ϕα) zu einer Karte (Wβ, ϕβ) ist die Veknüpfung ϕβα =
◦ ϕα.
ϕ −1
β
16.3.6. Gegeben eine topologische Mannigfaltigkeit mit einem topologischen
Atlas, dessen Kartenwechsel alle stetig differenzierbar sind, liefert die kofinale
Struktur zu den C 1 -Strukturen auf den Karten die Struktur einer C 1 -
Mannigfaltigkeit auf unserer topologischen Mannigfaltigkeit. Man erhält so