Analysis

66 KAPITEL I. ALLGEMEINE GRUNDLAGEN
in den zwei gebräuchlichsten Notationssystemen angibt. In diesen Notationssystemen
sollten alle Formeln aus der Schulzeit vertraut sein. Wir erinnern
uns an die Definition eines Monoids aus 3.1.14: Ein Monoid ist eine Menge
mit einer assoziativen Verknüpfung, für die es in unserer Menge ein neutrales
Element gibt.
Definition 3.2.2. 1. Ist (A, ⊤) ein Monoid und a ∈ A ein Element, so
nennen wir ein weiteres Element ā ∈ A invers zu a genau dann, wenn
gilt a⊤ā = e = ā⊤a für e ∈ A das neutrale Element unseres Monoids.
Ein Element, das ein Inverses besitzt, heißt invertierbar.
2. Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses besitzt.
3. Eine kommutative Gruppe oder abelsche Gruppe ist eine Gruppe,
deren Verknüpfung kommutativ ist.
3.2.3. Der Begriff einer “Gruppe” wurde von Évariste Galois (1811-1832) in
die Mathematik eingeführt. Er verwendet den Begriff “Gruppe von Transformationen”
sowohl in der Bedeutung einer “Menge von bijektiven Selbstabbildungen
einer gegebenen Menge” als auch in der Bedeutung einer “Menge
von bijektiven Selbstabbildungen einer gegebenen Menge, die abgeschlossen
ist unter Verknüpfung und Inversenbildung”, und die damit in der Tat ein
Beispiel für eine Gruppe im Sinne der obigen Definition bildet. Unsere obige
Definition 3.2.2 geht auf eine Arbeit von Arthur Cayley aus dem Jahre 1854
mit dem Titel “On the theory of groups as depending on the symbolic equation
θn = 1” zurück und wurde damit formuliert, bevor Cantor die Sprache
der Mengenlehre entwickelte. Die Terminologie “abelsche Gruppe” wurde zu
Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Hendrik Abel eingeführt.
Lemma 3.2.4. Jedes Element eines Monoids besitzt höchstens ein Inverses.
Beweis. Aus a⊤ā = e = ā⊤a und a⊤b = e = b⊤a folgt durch Anwenden von
b⊤ auf die erste Gleichung mit dem Assoziativgesetz sofort ā = b.
3.2.5. Wir dürfen also den bestimmten Artikel benutzen und von nun an
von dem Inversen eines Elements eines Monoids und insbesondere auch einer
Gruppe reden. Offensichtlich ist das Inverse des Inversen stets das ursprüngliche
Element, in Formeln ā = a.
Lemma 3.2.6. Sind a und b Elemente einer Gruppe oder allgemeiner invertierbare
Elemente eines Monoids, so wird das Inverse von a⊤b gegeben durch
die Formel (a⊤b) = ¯ b⊤ā.