Analysis

3. KLASSISCHE MECHANIK 1223
gelten, mit L = V − K : TM ⊗ 〈〈1/s〉〉 → 〈〈gm 2 /s 2 〉〉 der Differenz von
potentieller und kinetischer Energie, der sogenannten Lagrange-Funktion.
3.5 Wohin?
3.5.1. Sei M eine Riemann’sche Mannigfaltigkeit und g : M → (T ∗ M) ⊗2
ihre Metrik. Sei TM cang
−→ T ∗ M die von der Metrik induzierte Identifikation
des Tangentialbündels mit dem Kotangentialbündel. Sei H : T ∗ M → R die
Abbildung, die jedem Kotangentialvektor das halbe Quadrat der Länge des
entsprechenden Tangentialvektors zuordnet,
H(ξ) = 1
−1
gπ(ξ)(cang ξ, can
2 −1
g ξ)
So entspricht der Fluß des symplektischen Gradienten grad ω H von H unter
cang dem geodätischen Fluß auf TM. Wir überlegen uns das nur für eine
in einen endlichdimensionalen euklidischen Raum E eingebettete und mit
der induzierten Metrik versehene Mannigfaltigkeit M ⊂ E. In diesem Fall
können die verallgemeinerten Geodäten charakterisiert werden als diejenigen
glatten Kurven γ auf M mit ¨γ(t) ⊥ Tγ(t)M für alle Zeiten t. Betrachten wir
also das kommutative Diagramm
TM
≀
≀
T ∗ M M × E∗
a
M × E
mit den von der Metrik induzierten Vertikalen, so sind die verallgemeinerten
Geodäten γ : I → M für I ⊂ R ein halboffenes Intervall gerade dadurch
charakterisiert, daß die induzierte Abbildung (γ, ˙γ) : I → TM nach Verlängerung
zu I → M × E ∗ an jeder Stelle einen Geschwindigkeitsvektor hat,
dessen zweite Komponente vom Differential der Projektion M × E ∗ → T ∗ M
zu Null gemacht wird.
Jetzt interessieren wir uns für den Fluß des symplektischen Gradienten
grad ω H auf T ∗ M. Genau dann ist ϕ : I → T ∗ M eine Integralkurve, wenn
ϕ differenzierbar ist mit ˙ϕ(t) = (grad ω H)(ϕ(t)) für alle t ∈ I. Das ist per
definitonem gleichbedeutend zu
ωϕ(t)( ˙ϕ(t), v) = (dϕ(t)H)(v) ∀t ∈ I, v ∈ Tϕ(t)(T ∗ M)
Bezeichne nun s : T ∗ M → M × E ∗ den durch das Diagramm induzierten
Schnitt der Projektion a. Per definitonem haben wir für alle y ∈ M × E ∗
(a ∗ ω)y(h, k) = ωa(y)((dya)h, (dya)k)