Analysis

5. POTENZREIHEN UND HÖHERE ABLEITUNGEN 225
Für alle ε > 0 finden wir nun wegen der Konvergenz unserer Reihe ein N
derart, daß für alle n, m mit N ≤ n ≤ m gilt |an + . . . + am| ≤ ε. Für alle
n, m mit N ≤ n ≤ m und alle x ∈ [0, 1] folgt daraus die Abschätzung
m k=n akxk n m m ≤ (x − x ) ε + x ε ≤ ε
Diese Abschätzung zeigt die gleichmäßige Konvergenz der Folge der Partialsummen
auf [0, 1] und damit die Stetigkeit der Grenzfunktion.
Vorschau 5.4.4. Läßt sich die durch eine Potenzreihe im Inneren des Konvergenzintervalls
definierte Funktion stetig auf einen Randpunkt fortsetzen, so
muß die Potenzreihe an besagtem Randpunkt keineswegs konvergieren. Nehmen
wir der Einfachkeit halber an, daß das Konvergenzintervall (−1, 1) ist
und der fragliche Randpunkt die 1, so folgt die Konvergenz von an jedoch
aus der stetigen Fortsetzbarkeit der Funktion anx n von x ∈ [0, 1) auf [0, 1]
zusammen mit der Tauber-Bedingung, daß die Folge nan betragsmäßig
beschränkt sein möge. Unter der stärkeren Annahme limn→∞ nan = 0 wurde
das bereits von Tauber gezeigt.