Analysis

754 KAPITEL V. FUNKTIONENRÄUME UND SYMMETRIEN
Und den hat er in unserem Fall in der Tat, zum Beispiel gehört zu besagtem
Definitionsbereich auch noch jede stetige Funktion, die auf (−∞, a] und
[a, ∞) stetig differenzierbar ist und deren Ableitung dort jeweils quadratintegrierbar
ist. Genauer erhalten wir eine Erweiterung unseres Operators zu
einem selbstadjungierten Operator, wenn wir t statt x schreiben und den folgenden
Satz 3.11.9 auf die unitäre Darstellung von R auf L 2 (R; dt) anwenden,
bei der t ∈ R durch Verschiebung um t operiert, in Formeln ρ(t) = τt.
Satz 3.11.9. Gegeben ein Hilbertraum H liefert das Bilden des infinitesimalen
Erzeugers Sρ zu einer unitären Darstellung ρ im Sinne von 3.1.17 eine
Bijektion
Unitäre Darstellungen
von R in H
∼→
Unbeschränkte selbstadjungierte
Operatoren auf H
ρ ↦→ (H 1 , − i Sρ)
Beweis. Wir zeigen hier nur, daß wir so eine Abbildung erhalten. Das einzige
Problem dabei ist zu zeigen, daß der adjungierte Operator zu i Sρ auch keinen
größeren Definitionsbereich hat als H 1 . Das folgt jedoch sofort aus der
lokalen Darstellung 3.1.4 in Verbindung mit 3.11.7. Daß die so konstruierte
Abbildung eine Bijektion ist, wird erst später gezeigt werden.
3.11.10. Gegeben ein Hilbertraum H folgern wir aus dem vorhergehenden
Satz 3.11.9 in Verbindung mit dem Satz über die Spektralzerlegung unitärer
Darstellungen 3.8.1 sogar ein kommutatives Dreieck von Bijektionen
Unitäre Darstellungen
von R in H
↗∼ ∼↘
Auf R definierte Teilungen
der Identität von H
Φ
∼→
↦→
Unbeschränkte selbstadjung-
-ierte Operatoren auf H
xΦ〈x〉
Hier ist der fragliche Operator nur auf den v ∈ H mit |x|〈v, Φv〉 < ∞
definiert, für 〈v, Φv〉 das in 3.6.5 erklärte Maß, und für diese v ist er definiert
durch die Bedingung
w,
xΦ〈x〉 v =
x〈w, Φv〉 ∀w ∈ H
Weiter meint ↗ unsere Bijektion aus dem Satz über die Spektralzerlegung
unitärer Darstellungen 3.8.1 und ↘ unsere Bijektion aus dem vorhergehenden