Analysis

550 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
Beweis. Die Gesamtheit aller endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern
A × B mit A ∈ M und B ∈ N bildet sicher einen Mengenring E,
und in 6.2.4 haben Sie das sich auch zur Übung bereits überlegt. Wir zeigen
zunächst, daß es auf diesem Mengenring E ein Prämaß µ × ν gibt mit
(µ × ν)(A × B) = µ(A)ν(B). Es ist jedoch klar, daß für C ∈ E und beliebiges
y ∈ Y die Abbildung x ↦→ [C](x, y) eine meßbare Stufenfunktion X → {0, 1}
ist und daß wir weiter mit y ↦→
[C](x, y)µ〈x〉 eine meßbare Stufenfunktion
X
Y → [0, ∞] erhalten. Wir können also definieren
(µ × ν)(C) = [C](x, y)µ〈x〉 ν〈y〉
Y X
und die σ-Additivität von µ × ν folgt dann aus der Additivität der Integrale
6.4.11 zusammen mit dem Satz über monotone Konvergenz 6.4.9. Unser Satz
zum Produktmaß folgt damit aus dem Maßfortsetzungssatz 6.2.10.
6.6.4. Mit diesem Satz können wir durch Induktion über n das Lebesgue-Maß
auf dem R n aus dem Lebesgue-Maß auf R konstruieren und so die Existenz
in 6.1.20 im allgemeinen zeigen.
Übung 6.6.5. Gegeben meßbare Abbildungen f : X → X ′ und g : Y → Y ′
ist auch ihr Produkt f × g : X × Y → X ′ × Y ′ meßbar. Sind zusätzlich µ
ein σ-endliches Maß auf X und ν ein σ-endliches Maß auf Y mit σ-endlichen
Bildmaßen, so ist das Bildmaß ihres Produkts das Produkt der Bildmaße, in
Formeln
(f × g)∗(µ ⊠ ν) = (f∗µ) ⊠ (g∗ν)
Übung 6.6.6. Man präzisiere und zeige die “Assoziativität von Produkten”
bei Maßräumen.
Ergänzende Übung 6.6.7. Gegeben ein endlichdimensionaler Raum X induziert
das Bilden des Produkts mit dem Lebesguemaß eine Bijektion zwischen
der Menge aller Borelmaße auf X und der Menge aller Borelmaße auf
X × R, die invariant sind unter Translation in der zweiten Komponente.
Hinweis: Gegeben ein in dieser Weise translationsinvariantes Borelmaß µ auf
X ×R beachte man, daß für A ⊂ X mit kompaktem Abschluss die Vorschrift
B ↦→ µ(A × B) ein translationsinvariantes Borelmaß auf R definiert.
Satz 6.6.8 (positiver Fubini). Gegeben σ-endliche Maßräume (X, µ) und
(Y, ν) sowie eine meßbare Funktion f : X × Y → [0, ∞] ist x ↦→ f(x, y)
für alle y ∈ Y eine meßbare Funktion X → [0, ∞] und das partielle Integral
y ↦→ f(x, y)µ〈x〉 ist eine meßbare Funktion Y → [0, ∞] und es gilt
f(x, y) (µ ⊠ ν)〈x, y〉 = f(x, y)µ〈x〉 ν〈y〉
X×Y
Y
X