Analysis

7. SPIEGELUNGSGRUPPEN 981
nur in affinen Räumen über Körpern einer von Zwei verschiedenen Charakteristik
betrachten.
Definition 7.3.2. Unter einer affinen Spiegelungsgruppe verstehen wir
eine Gruppe von Automorphismen eines endlichdimensionalen affinen Raums
über einem angeordneten Körper, die (1) von affinen Spiegelungen erzeugt
wird, für die (2) die Spiegelebenen ihrer Spiegelungen ein lokal endliches
System von Hyperebenen bilden, und so daß (3) die linearen Anteile der
Elemente unserer Gruppe eine endliche Gruppe von Automorphismen des
Richtungsraums bilden. Wenn wir von einer affinen Spiegelungsgruppe (W, E)
reden, so ist mit E der zugrundeliegende endlichdimensionale affine Raum
gemeint und mit W die Gruppe selbst.
7.3.3. Der Rest dieses Abschnitts kann als eine vollständige Klassifikation
der reellen affinen Spiegelungsgruppen gelesen werden: Die endlichen Spiegelungsgruppen
werden bereits in 7.6.7 im Verbund mit 7.6.5 durch ihre
“Coxeter-Graphen” zusammen mit der Dimension ihrer Fixpunktmenge klassifiziert.
Nach 7.7.7 zerfällt jede affine reelle Spiegelungsgruppe in einen endlichen
und einen “essentiellen” Faktor, deren Isomorphieklassen eindeutig bestimmt
sind. 8.2.2 gibt dann eine Klassifikation der“essentiellen”affinen Spiegelungsgruppen
durch Wurzelsysteme, die hinwiederum nach 8.4.3 eindeutig
in unzerlegbare Wurzelsysteme zerfallen. Die unzerlegbaren Wurzelsysteme
schließlich werden in 8.5.4 durch ihre “Dynkin-Diagramme” klassifiziert.
Beispiel 7.3.4. Betrachten wir in einer reellen affinen Ebene zwei verschiedene
aber parallele Geraden und wählen zu jeder dieser Geraden eine Spiegelung,
die sie festhält, so erzeugen diese beiden Spiegelungen eine Gruppe von Automorphismen
der affinen Ebene. Diese Gruppe ist jedoch nur dann eine
affine Spiegelungsgruppe im Sinne unserer Definition 7.3.2, wenn die linearen
Anteile der beiden erzeugenden Spiegelungen übereinstimmen.
Definition 7.3.5. Unter einem affinen euklidischen Raum verstehen wir
hier und im folgenden einen affinen Raum über einem angeordneten Körper,
dessen Raum von Richtungsvektoren mit einem Skalarprodukt versehen ist.
Eine affine Abbildung zwischen affinen euklidischen Räumen heißt orthogonal
genau dann, wenn ihr linearer Anteil orthogonal ist. Eine Spiegelung
oder präziser eine affine orthogonale Spiegelung auf einem affinen euklidischen
Raum ist eine orthogonale Abbildung, deren Fixpunktmenge eine
Hyperebene ist. Unter einer affinen euklidischen Spiegelungsgruppe
verstehen wir eine affine Spiegelungsgruppe, die aus orthogonalen Automorphismen
eines endlichdimensionalen affinen euklidischen Raums besteht.