Analysis

412 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
zusammenfassen, daß das Wegintegral Verwandschaft respektiert. Genauer
folgt aus der Verwandschaft von Wegen φ : γ ❀ κ und der Verwandschaft
von Kovektorfeldern φ : η ❀ ω die Gleichheit der Wegintegrale
η = γ κ ω.
Beweis. Wir rechnen
γ φ∗ω = b
a γ∗φ∗ω = b
a (φ◦γ)∗ ω =
ω, wo wir 3.3.3,
φ◦γ
3.1.18 und nochmals 3.3.3 angewandt haben.
Proposition 3.3.11 (Unabhängigkeit von der Parametrisierung). Gegeben
γ : [a, b] → X ein stetig differenzierbarer Weg in einem endlichdimensionalen
reellen Raum X und ω ein stetiges relatives Kovektorfeld auf einer
halboffenen Teilmenge, die sein Bild umfaßt, und u : [c, d] → [a, b] stetig
differenzierbar mit u(c) = a und u(d) = b gilt
ω = ω
γ◦u
3.3.12. Der folgende Beweis zeigt auch, daß bei einer richtungsumkehrenden
Umparametrisierung, also für u mit u(c) = b und u(d) = a das Wegintegral
über den umparametrisierten Weg das Negative des Wegintegrals über
den ursprünglichen Weg ist. In 7.4.16 werden wir allgemeiner das Integral
von k-Formen über k-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeiten einführen
und speziell im Fall k = 1 ein Integral von Kovektorfeldern über orientierte
Kurven erhalten, das nach 7.5.10 im wesentlichen die in der Proposition enthaltene
Unabhängigkeit des Wegintegrals von der Parametrisierung zu einer
Definition umgießt.
Beweis. Wir schreiben unsere Behauptung um zu d
c u∗ (γ∗ω) = b
a γ∗ω. Für
η = f(t) dt ein beliebiges stetiges Kovektorfeld auf [a, b], insbesondere auch
für η = γ∗ω gilt jedoch u∗η = f(u(τ))u ′ (τ) dτ und damit d
c u∗η = b
η nach
a
der Substitutionsregel II.4.6.1.
3.3.13. Wir können nun auch den in III.1.4.8 erklärten Trick zur Berechnung
der Integrale von rationalen Ausdrücken in (x, √ x2 + 1) geometrisch verstehen.
Gegeben solch ein rationaler Ausdruck R(x, y) betrachten wir dazu auf
einer geeigneten Teilmenge des R2 die Differentialform R(x, y) dx und den
Weg γ : [a, b] → R2 mit γ(t) = t, √ t2 + 1 und fassen unser Integral auf als
Wegintegral
b
R t,
a
√ t2
+ 1 dt = R(x, y) dx
γ
Solch ein Wegintegral ist nach 3.3.11 unabhängig von der Parametrisierung.
Unser Weg durchläuft ein Stück der Hyperbel y 2 − x 2 = 1, genauer ein Stück
γ