Analysis

1278 KAPITEL VII. MIST UND VERSUCHE
U Integralkurven mit offenem Definitionsbereich, und je zwei Integralkurven
γ1 : I1 → U und γ2 : I2 → U mit demselben Anfangswert stimmen für
hinreichend kleines η > 0 auf I1 ∩ I2 ∩ [−η, η] überein.
Erster Beweis. Für jedes halboffene Intervall I mit 0 ∈ I und jeden Weg
γ : I → U bilden wir den “korrigierten” Weg ˆγ : I → X durch die Vorschrift
ˆγ(t) = p +
t
0
A(γ(τ)) dτ
so daß also gilt ˙ ˆγ(t) = A(γ(t)) für alle Zeiten t ∈ I. Bezeichnet C(I, Y ) die
Menge aller stetigen Abbildungen von I in einen metrischen Raum Y, so ist
das Korrigieren eine Abbildung
kp : C(I, U) → C(I, X)
γ ↦→ ˆγ
Von hier an nehmen wir zusätzlich I kompakt an. Dann können wir unseren
Wegeraum C(I, X) mit der Metrik d der gleichmäßigen Konvergenz versehen
und erhalten die Abschätzung
ˆγ(t) − ˆ
t
ψ(t) =
A(γ(τ)) − A(ψ(τ)) dτ
≤
0
t
0
A(γ(τ)) − A(ψ(τ)) dτ
≤ |t| · L · d(γ, ψ)
falls A lipschitzstetig ist auf U mit Lipschitz-Konstante L. Bezeichnet I
das Supremum der Beträge der Elemente von I, so folgt sofort
d(ˆγ, ˆ ψ) ≤ I · L · d(γ, ψ)
Nun wählen wir erst R > 0 mit ¯ B(p; R) ⊂ U und dann dazu I so klein,
daß für den konstant bei p verweilenden Weg κ : I → U das Bild von ˆκ in
¯B(p; R/2) liegt, daß also gilt d(ˆκ, κ) ≤ R/2, und darüber hinaus auch noch
so kurz, daß gilt I · L ≤ 1/2. Für derartige R und I behaupten wir nun,
daß das Korrigieren von Wegen γ ↦→ ˆγ eine kontrahierende Selbstabbildung
auf
C(I, ¯ B(p; R)) = ¯ B(κ; R)
induziert, wo die rechte Seite den abgeschlossenen Ball mit Radius R im Wegeraum
meint, der sein Zentrum im konstant bei p verweilenden Weg κ hat. In