Analysis

840 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
Lemma 3.6.18 (Finalität der Projektionen). Die Projektionen eines
Produkts von topologischen Räumen auf einen beliebigen Faktor sind offene
Abbildungen. Die Projektionen eines Produkts von nichtleeren topologischen
Räumen auf einen beliebigen Faktor sind final.
Beweis. Ersteres folgt unmittelbar aus der Definition der Produkttopologie.
Letzteres kann man alternativ aus 3.4.19 folgern, wonach jede offene stetige
Surjektion final ist, oder aus 3.4.14, wonach jede stetige Abbildung mit einem
stetigen Schnitt final ist.
Satz 3.6.19 (Zusammenhang von Produkten). Ein Produkt von topologischen
Räumen ist zusammenhängend genau dann, wenn alle Faktoren
zusammenhängend sind.
3.6.20. Um diesen Satz so prägnant formulieren zu können, müssen wir unsere
Konvention zugrundelegen, nach der die leere Menge kein zusammenhängender
topologischer Raum ist.
Beweis. Ist das Produkt zusammenhängend, so nach 1.4.2 auch die Faktoren
als Bilder der stetigen Projektionen. Für die Rückrichtung prüfen wir unser
Zusammenhangskriterium 1.4.3. Sei (Yi)i∈I unsere Familie von topologischen
Räumen und f : Yi → {0, 1} stetig. Gilt f −1 (0) = ∅, so folgt f −1 (0) ⊃
Ui1 × . . . × Uik × i=i1,...,ik Yi für geeignete nichtleere offene Teilmengen Ui1 ⊂◦
Yi1, . . . , Uik ⊂◦ Yik . Aber da Yi zusammenhängend ist, folgt f(x) = f(y), wenn
sich x und y nur in der i-ten Koordinate unterscheiden. Also gilt f −1
(0) =
i∈I Yi.
Ergänzende Übung 3.6.21. Man zeige, daß es keinen topologischen Raum X
gibt derart, daß X ×X homöomorph ist zu R. Hinweis: Man zeige, daß für X
zusammenhängend mit mehr als einem Punkt das Komplement eines Punktes
in X × X auch zusammenhängend ist. Man zeige allgemeiner, daß es keine
zwei topologischen Räume X, Y mit jeweils mindestens zwei Punkten so gibt,
daß X × Y homöomorph ist zu R. Höherdimensionale Analoga zeigen wir in
??.
Ergänzende Übung 3.6.22. Man zeige, daß für jeden topologischen Raum X
die Abbildung Exp × id : [0, 1] × X → S 1 × X final ist. Hinweis: 3.4.14 und
3.4.21.
Ergänzende Übung 3.6.23. Auf dem Produkt einer abzählbaren Familie metrischer
Räume existieren stets Metriken, die die Produkt-Topologie induzieren.
Hinweis: Man mag sich an II.6.7.17 orientieren. Weiter zeige man, daß das
Produkt einer abzählbaren Familie kompakter metrischer Räume kompakt
ist.