Analysis

1046 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
i1 : N → N. Als nächstes überdecken wir X durch endlich viele Bälle vom
Radius 1/2. In einem dieser Bälle müssen unendlich viele Folgenglieder der
Folge v 1 liegen, und diese bilden eine Teilfolge v 2 = v 1 ◦ i2 von v 1 , für eine
geeignete Injektion i2 : N → N. Als nächstes überdecken wir X durch endlich
viele Bälle vom Radius 1/3, und indem wir immer so weitermachen erhalten
wir eine Kette von Teilfolgen v ν derart, daß Folgenglieder von v ν höchstens
den Abstand 2/ν voneinander haben. Die Folge yν = v ν (ν) ist dann eine Teilfolge
unserer Folge v, die eine Cauchy-Folge ist und mithin konvergiert.
Definition 10.6.8. Eine Menge F von Abbildungen von einem topologischen
Raum X in einen metrischen Raum heißt gleichgradig stetig genau dann,
wenn es für jeden Punkt x ∈ X und jedes ε > 0 eine Umgebung U(x, ε) von
x gibt derart, daß gilt
y ∈ U(x, ε) ⇒ d(f(x), f(y)) ≤ ε ∀f ∈ F
Satz 10.6.9 (Arzela-Ascoli). Im Raum aller stetigen Abbildungen eines
kompakten Raums in einen kompakten metrischen Raum hat eine Teilmenge
kompakten Abschluß genau dann, wenn sie gleichgradig stetig ist.
Beweis. Unser Raum von stetigen Abbildungen ist nach II.7.5.30 schon mal
vollständig in seiner Metrik der gleichmäßigen Konvergenz. Nach 10.6.7 reicht
es also zu zeigen, daß eine Teilmenge darin total beschränkt ist genau dann,
wenn sie gleichgradig stetig ist. Die Herleitung gleichgradigen Stetigkeit aus
der totalen Beschränktheit überlassen wir dem Leser als Übung 10.6.10. Ist
umgekehrt eine Menge F von Abbildungen f : X → M gleichgradig stetig,
so finden wir ja für jedes ε > 0 und jeden Punkt x ∈ X eine Umgebung
U(x, ε) von x derart, daß gilt
y ∈ U(x, ε) ⇒ d(f(x), f(y)) ≤ ε ∀f ∈ F
Endlich viele dieser U(x, ε) überdecken dann X, etwa die zu den Punkten
x1, . . ., xr, und endlich viele ε-Bälle B1, . . . , Bs überdecken M. Für jede
Abbildung σ : {1, . . . r} → {1, . . . s} wählen wir nun wenn möglich eine
Funktion fσ ∈ F mit fσ(xi) ∈ Bσ(i) ∀i und behaupten, daß die Bälle um
diese fσ mit Radius 4ε bereits ganz F überdecken. In der Tat, zu jeder
Funktion f ∈ F gibt es ja mindestens ein σ mit f(xi) ∈ Bσ(i) ∀i. Für
solch ein σ existiert dann notwendig auch ein fσ und es gilt offensichtlich
d(f(xi), fσ(xi)) ≤ 2ε für alle i. Da jedes x in einem U(xi, ε) liegt, folgt dann
jedoch d(f(x), fσ(x)) ≤ 4ε für alle x ∈ X.
Übung 10.6.10. Man zeige, daß eine Menge von stetigen Abbildungen von
einem topologischen Raum in einen metrischen Raum, die total beschränkt
ist, schon gleichgradig stetig sein muß.