Analysis

2. ENDLICHDIMENSIONALE DARSTELLUNGEN 795
(x, v) ↦→ xv mit der Eigenschaft
x(yv) − y(xv) = [x, y]v ∀x, y ∈ g, v ∈ V
Wir werden in diesem Zusammenhang die Klammern oft weglassen und x(yv)
mit xyv abkürzen.
Übung 2.1.8. Seien k ein Körper, g eine k-Liealgebra und V ein k-Vektorraum.
So induziert die Identifikation Ens(g×V, V ) ∼ → Ens(g, Ens(V, V )) aus I.2.2.26
eine Bijektion
Operationen von g
auf dem Vektorraum V
∼→
Liealgebrenhomomorphismen
g → gl(V )
Eine Operation ist also “im wesentlichen dasselbe wie eine Darstellung”.
2.1.9. Gegeben eine stetige endlichdimensionale Darstellung ρ : G → GL(V )
einer Liegruppe und x ∈ Lie G und v ∈ V berechnet man xv ∈ V zweckmäßig,
indem man das Auswerten av : GL(V ) → V hinter ρ dahinterhängt. Da
av Restriktion einer linearen Abbildung av : End(V ) → V und damit sein
eigenes Differential ist, in Formeln dav = av oder ganz pedantisch dav ◦
trans = trans ◦av, ergibt sich so für die Operation eines Elements x der
Liealgebra auf einem Vektor v, daß xv das Bild von x unter dem Differential
beim neutralen Element der Abbildung av ◦ ρ : G → V , also der Abbildung
g ↦→ gv sein muß. Halten wir noch eine Kurve R → G mit Geschwindigkeit
x bei t = 0 davor, zum Beispiel die Kurve t ↦→ exp(tx), ergibt sich für
die Operation eines Elements x der Liealgebra auf einem Vektor v einer
Darstellung die Formel
(exp tx)v − v
xv = lim
t→0 t
Übung 2.1.10 (Liealgebra einer Isotropiegruppe). Ist ρ : G → GL(V )
eine stetige endlichdimensionale Darstellung einer Liegruppe und v ∈ V ein
Vektor, so gilt für die Liealgebra der Isotropiegruppe
Hinweis: Man mag 1.2.25 anwenden.
Lie(Gv) = {x ∈ Lie G | xv = 0}
Übung 2.1.11. Sei V ein Vektorraum. Die offensichtliche Operation macht
V zu einer Darstellung von gl(V ), der Standarddarstellung von gl(V ).
Im Fall eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums ist sie die Ableitung
der offensichtlichen Darstellung der Matrix-Liegruppe G = GL(V ) durch
Automorphismen von V .