Analysis

862 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
versehen, für ϕ : V → M und ψ : W → N Karten von M bzw. von N.
Ist M eine m-Mannigfaltigkeit und N eine n-Mannigfaltigkeit, so haben wir
hier V ⊂◦ R m und W ⊂◦ R n und denken uns V × W ⊂◦ R m+n versehen mit
seiner von (R m+n , C ∞ ) induzierten Struktur eines R-geringten Raums. Aus
der Beschreibung 4.2.6 einer Mannigfaltigkeit durch einen verträglichen Atlas
folgt, daß M × N mit dieser Struktur eines R-geringten Raums in der Tat
eine glatte Mannigfaltigkeit wird, die die gewünschten Eigenschaften hat.
4.2.16. Jedes Produkt von Einbettungen ist wieder eine Einbettung. Sind
also in Formeln X ↩→ M und Y ↩→ N Einbettungen von glatten Mannigfaltigkeiten,
so ist auch X × Y ↩→ M × N ein Einbettung. Das folgert man
mühelos aus den universellen Eigenschaften.
Definition 4.2.17. Eine Liegruppe ist eine Gruppe G mit einer Struktur
als glatte Mannigfaltigkeit derart, daß die Multiplikation G × G → G und
die Inversenbildung G → G beide glatt sind und daß der zugrundeliegende
topologische Raum separabel ist.
4.2.18. Die vorhergehende Bemerkung 4.2.16 zeigt, daß unsere Matrix-Liegruppen
aus 1.2.3 auch tatsächlich Liegruppen in diesem abstrakten Sinne
sind. Die Separabilität wird insbesondere bei der Diskussion homogener Räume
wichtig werden und vereinfacht auch die Diskussion von Maß und Integral
auf unseren Gruppen wesentlich, ohne dabei interessante Anwendungen auszuschließen.
Übung 4.2.19. Gegeben zwei Liegruppen G, H ist auch ihr Produkt G × H
mit der komponentenweisen Verknüpfung eine Liegruppe.
Übung 4.2.20. Die Quotientengruppe R n /Z n wird mit der finalen Struktur
zur kanonischen Projektion eine Liegruppe, die isomorph ist zu (S 1 ) n .
4.3 Tangentialräume
Definition 4.3.1. Sei (X, OX) ein k-geringter Raum und x ∈ X ein Punkt.
Die k-Ringalgebra OX,x aller Keime regulärer Funktionen bei x ist definiert
durch die Vorschrift
OX,x = {(U, f) | U offene Umgebung von x und f ∈ O(U) regulär} / ∼
wobei die Äquivalenzrelation ∼ dadurch erklärt wird, daß gilt (U, f) ∼ (V, g)
genau dann, wenn die Funktionen f und g auf einer hinreichend kleinen in
U ∩ V enthaltenen Umgebung W von x übereinstimmen. Für jeden Homomorphismus
k-geringter Räume ϕ : X → Y induziert das Zurückholen von
Funktionen k-lineare Ringhomomorphismen
(◦ϕ) : OY,ϕ(x) → OX,x