Analysis

1. ABLEITUNGEN IN MEHREREN VERÄNDERLICHEN 365
Beispiel 1.4.7. Die Leibnizregel II.4.2.1 können wir aus der Kettenregel für
Differentiale herleiten wie folgt: Gegeben f, g : R → R schreiben wir das Produkt
fg als die Verknüpfung fg = mult ◦(f, g) der Funktion (f, g) : R → R 2
mit der Multiplikation mult : R 2 → R. Sind f und g differenzierbar bei
t ∈ R, so nach der Komponentenregel auch ihre Zusammenfassung (f, g),
und deren Jacobi-Matrix ist die Spaltenmatrix [dt(f, g)] = (f ′ (t), g ′ (t)) ⊤ .
Andererseits ist die Multiplikation differenzierbar als stetige bilineare Abbildung
oder auch nach 1.5.1 wegen der Existenz und Stetigkeit der partiellen
Ableitungen und ihr Differential bei (x, y) hat als Jacobi-Matrix die Zeilenmatrix
[d(x,y) mult] = (y, x). Mit der Kettenregel in mehreren Veränderlichen
folgt dann
(fg) ′ (t) = [dt(f ◦ g)]
= [d(f(t),g(t)) mult] ◦ [dt(f, g)]
= (g(t), f(t)) ◦ (f ′ (t), g ′ (t)) ⊤
= g(t)f ′ (t) + f(t)g ′ (t)
Korollar 1.4.8. Seien A : R → Mat(n × m; R) und B : R → Mat(m × k; R)
differenzierbare matrixwertige Funktionen. So ist auch das Produkt AB : t ↦→
A(t)B(t) differenzierbar und die Geschwindigkeit (AB) ′ der Produktfunktion
AB : R → Mat(n × k; R) wird gegeben durch die Formel
(AB) ′ = A ′ B + AB ′
1.4.9. Das sollten Sie zur Übung schon in Koordinaten nachgerechnet haben.
Der hier gegebene Beweis ist komplizierter und dient in erster Linie
nicht der Herleitung des Resultats, sondern vielmehr der Illustration unserer
allgemeinen Regeln durch ein übersichtliches Beispiel. Man beachte jedoch
auch, wie unübersichtlich dieses Beispiel wird, sobald wir versuchen, statt
mit abstrakten Differentialen mit Jacobi-Matrizen zu arbeiten.
Beweis. Die Matrixmultiplikation ist eine stetige bilineare Abbildung
Mult : Mat(n × m; R) × Mat(m × k; R) → Mat(n × k; R)
und wir können AB schreiben als die Verknüpfung AB = Mult ◦(A, B). Mit
der Kettenregel und der Komponentenregel ergibt sich
dt(AB) = (d(A(t),B(t)) Mult) ◦ (dtA, dtB)
Wenden wir diese lineare Abbildung R → Mat(n × k; R) an auf 1 ∈ R, so
erhalten wir mit 1.4.5 wie gewünscht
(AB) ′ (t) = dt(AB)(1)
= (d(A(t),B(t)) Mult)(A ′ (t), B ′ (t))
= A ′ (t)B(t) + A(t)B ′ (t)