Analysis

4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 193
Ergänzende Übung 4.3.24. Für P ⊂ N die Menge aller Primzahlen gilt
1
= ∞
p
p∈P
In der Tat folgt aus ∞ k=1 1/k = ∞ und der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
und der Entwicklung in eine geometrische Reihe (1 − 1/p) −1 =
(1 + p−1 + p−2 . . .), daß die Menge der Partialprodukte des unendlichen Pro-
dukts
p∈P (1 − 1/p)−1 nicht beschränkt sein kann. Nun wende man den
Logarithmus an und schätze ab.
4.4 Regeln von de l’Hospital
Satz 4.4.1 (Regeln von de l’Hospital). Sei I ⊂ R ein halboffenes Intervall
und p ein Häufungspunkt von I in R. Seien f, g : I → R differenzierbare
Funktionen derart, daß gilt
lim f(x) = lim g(x) = 0 oder lim |f(x)| = lim |g(x)| = ∞
x→p x→p x→p x→p
Haben g und g ′ keine Nullstelle auf I\p und existiert der Grenzwert des
Quotienten der Ableitungen limx→p(f ′ (x)/g ′ (x)) in R, so existiert auch der
Grenzwert des Quotienten der Funktionen limx→p(f(x)/g(x)) in R und es
gilt
lim
x→p
f(x)
= lim
g(x) x→p
′ f (x)
g ′
(x)
Beweis. Wir beginnen den Beweis mit folgendem
Lemma 4.4.2 (Allgemeiner Mittelwertsatz). Seien a < b in R gegeben
und seien f, g stetige reellwertige Funktionen auf dem kompakten Intervall
[a, b], die differenzierbar sind auf dem offenen Intervall (a, b). So gibt es ξ ∈
(a, b) mit
f ′ (ξ)(g(a) − g(b)) = g ′ (ξ)(f(a) − f(b))
4.4.3. Ich kann für diesen Satz leider keine Anschauung anbieten. Verschwindet
g ′ nirgends auf (a, b), so gilt g(a) = g(b) nach dem Satz von Rolle 4.3.7
und wir können unsere Gleichung schreiben in der Form
f(a) − f(b)
g(a) − g(b) = f ′ (ξ)
g ′ (ξ)
Ist also g(x) = x, so erhalten wir unseren Mittelwertsatz 4.3.8 als Spezialfall.
Der allgemeine Mittelwertsatz wird nur beim Beweis der Regeln von
de l’Hospital eine Rolle spielen, weshalb ich ihm auch nur den Status eines
Lemmas eingeräumt habe.