Analysis

6. MASS UND INTEGRAL 535
Ergänzung 6.3.23. Ist (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, so heißt das Bildmaß
des Wahrscheinlichkeitsmaßes unter einer Zufallsvariable X : Ω → Y
die Verteilung der Zufallsvariable und wird P X notiert. Im Fall einer
reellwertigen Zufallsvariable Y = R ist dann P X ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf R, und seine Verteilungsfunktion im Sinne von 6.2.20 heißt die
Verteilungsfunktion oder präziser die kumulative Verteilungsfunktion
unserer Zufallsvariablen. Das Bildmaß des Dirac-Maßes auf einer einpunktigen
Menge unter einer Abbildung in einen Meßraum ist das Dirac-Maß am
Bildpunkt.
Beispiel 6.3.24. Die geometrische Verteilung mit Parameter p ∈ (0, 1] auf
N≥1 ist das Maß µ = µp auf N≥1 mit µ(i) = p i−1 (1 − p). Die Wahrscheinlichkeit,
mit einem gerechten Würfel beim i-ten Wurf zum ersten Mal eine Sechs
zu würfeln, ist zum Beispiel µ5/6(i) = (5/6) i−1 · (1/6).
6.3.25. Manchmal scheint mir die äquivalente Terminologie der “Verwandtschaft”
transparenter, die ich nun einführe. Gegeben eine meßbare Abbildung
φ : X → Y von Meßräumen und ein Maß µ auf X und ein Maß ν auf Y heißen
die beiden Maße φ-verwandt und wir schreiben
φ : µ ❀ ν
genau dann, wenn gilt ν(A) = µ(φ −1 A) für jede meßbare Teilmenge A ⊂ Y .
Gleichbedeutend ist per definitionem ν = φ∗µ. Jedes Maß hat also unter jeder
meßbaren Abbildung genau einen “Vorwärtsverwandten”. Das mag den konzeptionellen
Unterschied zwischen Maßen und Funktionen deutlich machen,
die im Gegensatz dazu stets genau einen “Rückwärtsverwandten” haben.
Ergänzung 6.3.26. Eine Funktion auf einem Maßraum (X, M, µ), die meßbar
ist auf dem in Bezug auf das Maß µ vervollständigten Maßraum, nennen wir
µ-meßbar. Insbesondere heißt eine Abbildung R → R Lebesgue-meßbar
genau dann, wenn sie λ-meßbar ist für λ das Lebesgue-Maß. Wir werden
nach Möglichkeit versuchen, ohne diese Begrifflichkeit auszukommen. Die Beziehung
dieses Begriffs zur Meßbarkeit klärt 6.4.22.
Übung 6.3.27. Man zeige, daß jede linksseitig stetige Funktion f : R → R
meßbar ist. Hinweis: Man schreibe f als punktweisen Grenzwert stückweise
konstanter Funktionen. Man zeige, daß jede in jeder Variablen monoton
wachsende und linksseitig stetige Funktion f : R n → R meßbar ist.
6.4 Das Integral von nichtnegativen Funktionen
Definition 6.4.1. Eine Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, nenne
ich eine Stufenfunktion.