Analysis

1. MATRIX-LIEGRUPPEN 789
Beweis. Jede Einparameteruntergruppe von G liefert durch Nachschalten
von ϕ eine Einparameteruntergruppe von H. Aus unserer Beschreibung der
Einparameteruntergruppen 1.6.3 folgt so unmittelbar, daß es eine Abbildung
˜ϕ : Lie G → Lie H geben muß, die das Diagramm
Lie G ˜ϕ
exp
G
ϕ
Lie H
exp
H
zum Kommutieren bringt und die darüber hinaus mit allen Streckungen vertauscht,
in Formeln ˜ϕ(sX) = s ˜ϕ(X) für alle s ∈ R und X ∈ Lie G. Wenden
wir ϕ auf beide Seiten von Trotter’s Produktformel 1.2.13 an, so folgt
weiter ˜ϕ(X + Y ) = ˜ϕ(X) + ˜ϕ(Y ) und damit die Linearität von ˜ϕ. Da im
Diagramm beide Vertikalen Diffeomorphismen zwischen einer offenen Umgebung
der Null in der jeweiligen Liealgebra und einer offenen Umgebung des
neutralen Elements in der jeweiligen Gruppe liefern, können wir folgern, daß
ϕ auf einer offenen Umgebung des neutralen Elements von G glatt ist mit
Differential deϕ = ˜ϕ. Wegen ϕ = (ϕ(g)·)◦ϕ◦(g −1 ·) ist dann ϕ auch für jedes
andere Gruppenelement g ∈ G glatt in einer Umgebung desselben und damit
eine glatte Abbildung. Um schließlich zu zeigen, daß deϕ ein Homomorphismus
von Liealgebren ist, gehen wir aus vom kommutativen Diagramm von
Mannigfaltigkeiten
G ϕ
H
int x
G ϕ
H
int ϕ(x)
Indem man darin zu den Differentialen an den neutralen Elementen übergeht
und die Kettenregel 1.6.4 beachtet, erhält man das kommutative Diagramm
von reellen Vektorräumen
TeG
Ad x
deϕ
TeH
TeG deϕ
TeH
Ad ϕ(x)
Gegeben X, Y ∈ Lie G mit Bildern ¯ X, ¯ Y ∈ Lie H erhalten wir nun nach dem
bereits Bewiesenen ϕ(exp(tX)) = exp(t ¯ X) für alle t ∈ R und dann folgt
deϕ : Ad(exp(tX))(Y ) ↦→ Ad(exp(t ¯ X))( ¯ Y )
nach dem vorhergehenden kommutativen Diagramm mit x = exp(tX), angewandt
auf Y ∈ TeG. Dann muß aber nach der Kettenregel deϕ = d0(deϕ)