Analysis

384 KAPITEL IV. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHEN
kleinstmöglich wird. Sicher gilt limx→∞ S(x) = ∞, folglich existiert ein
Kompaktum K ⊂ R 2 mit
inf S(x) = inf
x∈R2 x∈K S(x)
und damit nimmt unsere Funktion nach II.6.7.11 ihr Infimum auch wirklich
als Funktionswert an. Unsere Funktion ist auf R 2 \{p, q, r} stetig differenzierbar
und ihr Gradient bei x ergibt sich nach kurzer Rechnung zu
(grad S)(x) =
x − p x − q x − r
+ +
x − p x − q x − r
Für das Minimum kommen nach unseren Erkenntnissen nur unsere drei Punkte
p, q, r sowie die Nullstellen des Gradienten in Frage. Die weiteren Überlegungen
führen wir nicht mehr in formaler Strenge durch, da das von unseren
formalen Kenntnissen ausgehend einen unangemessenen Aufwand bedeuten
würde. Anschaulich scheint es mir klar, daß unser Gradient nur dann verschwinden
kann, wenn nicht alle drei Punkte p, q, r auf einer Geraden liegen
und x im Inneren der zugehörigen Dreiecksfläche alias ihrer konvexen Hülle
liegt und wenn die drei Vektoren x − p, x − q und x − r jeweils einen
Winkel von 120 ◦ alias 2π/3 einschließen. Das ist für einen Punkt im Innern
der Dreiecksfläche jedoch nur dann möglich, wenn jeder der Winkel unseres
Ausgangsdreiecks kleiner ist als 120 ◦ . Nur unter den Voraussetzungen, daß
unsere drei Punkte p, q, r nicht auf einer Geraden liegen und jeder der Winkel
des Dreiecks mit den Ecken p, q, r kleiner ist als 120 ◦ , kann also das Minimum
außerhalb der drei Punkte {p, q, r} angenommen werden. Sind sie erfüllt, so
kann das Minimum hinwiederum nicht an einem dieser Punkte angenommen
werden, da der Wert von S(x) dann abnimmt, wenn wir auf einer Winkelhalbierenden
ins Dreieck hineinlaufen, wie man etwa an unserer Beschreibung
des Gradienten sehen kann. Folglich muß dann das Minimum bei der kritischen
Stelle angenommen werden, die eben dadurch charakterisiert ist, daß
die Vektoren x − p, x − q und x − r jeweils einen Winkel von 120 ◦ = 2π/3
einschließen.
2.4.7. Um eine hinreichende Bedingung für ein lokales Minimum oder Maximum
zu erhalten, müssen wir wie im Fall einer Veränderlichen die zweiten
Ableitungen untersuchen. Am Beispiel der Funktionen (x, y) ↦→ x 2 + y 2 bzw.
x 2 bzw. x 2 − y 2 kann man sehen, was lokal um (0, 0) ∈ R 2 so alles passieren
kann. Wir betrachten nun allgemeiner eine beliebige quadratische Form
q(x1, . . . , xn) = aijxixj mit aij ∈ R wie in ??.