Analysis

1072 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
U ⊂◦ H des Ursprungs, deren Schnitt mit V beschränkt ist. Gegeben p ∈ H\V
erhalten wir nach geeigneter Streckung von U auch eine offene Umgebung U
von p, deren Schnitt mit V beschränkt ist. Dann ist jedoch der Abschluß in
V von U ∩ V kompakt und damit auch abgeschlossen in H und U\U ∩ V ist
die gesuchte offene Umgebung von p, die V nicht trifft.
(2)n ⇒ (1)n+1 : Gegeben ein Hausdorff’scher topologischer Vektorraum H
der Dimension dimR H = n + 1 ist nach (2)n jede lineare Hyperebene V
abgeschlosssen, der Quotientenraum H/V ist nach 3.8.10 also Hausdorff und
trägt damit nach (1)1 die natürliche Topologie. Dann sind aber alle Linearformen
auf H stetig. Jede Basis von H liefert nun einen stetigen Isomorphismus
R n+1 ∼ → H, da nach Annahme die Multiplikation mit Skalaren R × H → H
stetig und die Addition stetig sind, und nach dem eben Bewiesenen ist die
Umkehrung dieses Isomorphismus auch stetig.
Definition 11.1.13. Eine stetige Darstellung einer topologischen Gruppe
G über einem topologischen Körper k ist ein topologischer k-Vektorraum V
mit einer linearen G-Operation derart, daß die durch die Operation gegebene
Abbildung G × V → V stetig ist. Erwähnen wir den topologischen Körper
k nicht explizit, so meinen wir in der Regel k = C. Eine stetige Darstellung
heißt irreduzibel oder präziser topologisch irreduzibel genau dann, wenn
sie nicht Null ist und jeder abgeschlossene invariante Teilraum entweder die
ganze Darstellung oder der Nullraum ist. Eine unitäre Darstellung einer
topologischen Gruppe G ist eine stetige Darstellung durch unitäre Automorphismen
eines Hilbertraums.
Beispiele 11.1.14. Offensichtliche Beispiele für stetige Darstellungen sind die
Operation von GL(n; C) auf V = C n und ihre Restriktionen auf Untergruppen
G ⊂ GL(n; C). Besonders interessant ist die Frage nach einer Klassifikation
der irreduziblen unitären Darstellungen einer gegebenen topologischen
Gruppe. Die Klassifikation der irreduziblen unitären Darstellungen der Gruppe
SL(2; R) diskutieren wir in ??.
Übung 11.1.15. Man zeige, daß alle einfachen unitären Darstellungen von R
eindimensional sind. Hinweis: Man verwende den Satz V.3.1.4 über die lokale
Struktur unitärer Darstellungen von R und die Beschreibung IV.6.2.18 von
Borelmaßen auf R durch ihre Verteilungsfunktion.
11.2 Kompakt-offene Topologie
Definition 11.2.1. Gegeben topologische Räume X, Y bezeichne Top(X, Y )
die Menge aller stetigen Abbildungen von X nach Y . Gegeben Teilmengen