Analysis

1348 KAPITEL VIII. FUNKTIONENTHEORIE
aber jeder geschlossene Weg aus dem Definitionsbereich bereits im Definitionsbereich
zusammenziehbar und damit verschwindet das Wegintegral nach
dem Integralsatz von Cauchy 1.4.3.
Definition 1.4.15. Zwei normierte geschlossene Wege α, β in einem metrischen
oder allgemeiner topologischen Raum heißen frei homotop genau
dann, wenn es eine durch τ ∈ [0, 1] parametrisierte Familie geschlossener normierter
Wege γτ gibt mit γ0 = α, γ1 = β und so, daß (t, τ) ↦→ γτ(t) stetig
ist auf [0, 1] 2 . Zwei geschlossene Wege heißen frei homotop genau dann, wenn
die zugehörigen normierten Wege frei homotop sind.
Satz 1.4.16 (Invarianz des Wegintegrals unter freier Homotopie).
Die Wegintegrale über je zwei im Definitionsbereich einer holomorphen Funktion
frei homotope geschlossene Wege stimmen überein.
Beweis. Das folgt leicht aus der Homotopieinvarianz des Wegintegrals für
holomorphe Funktionen 1.4.12. Die Details seien dem Leser zur Übung überlassen.
Ergänzung 1.4.17 (Verallgemeinerung des Integralsatzes). Wir gehen
aus von der komplexen Zahlenebene C, entfernen daraus zwei Punkte a, b und
betrachten den Integrationsweg γ gegeben durch das nebenstehende Bild.
Es ist nicht klar, ob dieser Weg in C\{a, b} zusammenziehbar ist, und in
?? zeigen wir, daß er es in der Tat nicht ist. Klar ist jedoch, daß dennoch
das Integral jeder auf C\{a, b} holomorphen Funktion längs dieses Weges
verschwinden muß: Zerlegen wir nämlich unseren Weg in Stücke, indem wir
ihn an den drei Selbstschnittstellen aufschneiden, und setzen diese Stücke
so wieder zu zwei geschlossenen Wegen zusammen, daß der eine das Gebiet
berandet, das von oben an das Mittelkreuz grenzt, und der andere das Gebiet,
das von unten an das Mittelkreuz grenzt, so erhalten wir zwei in C\{a, b}
zusammenziehbare Wege, über die das Wegintegral nach dem Integralsatz
von Cauchy 1.4.3 jeweils verschwinden muß. Diesen Trick verwandeln wir im
Rahmen der Homologietheorie in eine Methode, vergleiche ??.
Übung 1.4.18. Sei γ ein stetiger geschlossener Weg in C und U ⊂◦ C das
Komplement seines Bildes. Man zeige, daß die Funktion uγ : U → C gegeben
durch
dz
uγ(w) =
z − w
lokal konstant ist, als da heißt holomorph mit Ableitung Null. In 2.2 werden
wir sehen, daß f nur Werte in 2πiZ annimmt, und werden diese Werte als
das 2πi-fache der “Umlaufzahl von γ um den Punkt w” verstehen lernen.
γ