Analysis

2. FOURIERTRANSFORMATION 665
2.1.19. In 2.1.32 leiten wir dieselbe Formel allgemeiner für beliebige integrierbare
Funktionen mit integrierbarer Fouriertransformierten her. Eine kanonische
Version, in der wir auch das Vorzeichen als ein Artefakt unserer
Konventionen verstehen lernen, wird in 2.3.14 gegeben.
Beweis. Wir betrachten zunächst im Schwartzraum eine beliebige weitere
Funktion g ∈ S und behaupten
f ∧ (y)g(y) d n
y = f(x)g ∧ (x) d n x
In der Tat ist das nach unseren Definitionen und Fubini gleichbedeutend zu
f(x) e − i x·y g(y) d n x d n y =
f(x) e − i x·y g(y) d n y d n x
und damit offensichtlich. Ist etwas allgemeiner h ∈ S eine Funktion aus dem
Schwartzraum und betrachten wir für r > 0 die Funktion g = hr = h(y/r),
so erhalten wir mit 2.1.6.5 sofort g ∧ = h ∧ r = r n h ∧ (rx) und damit
f ∧
(y)h(y/r) =
f(x)h ∧ r (x) =
f(x)r n h ∧ (rx) =
f(x/r)h ∧ (x)
wo wir im letzten Schritt die Transformationsformel IV.4.4.6 angewandt haben.
Für r → ∞ folgt dann aus dem Satz über dominierte Konvergenz
f ∧
(y)h(0) = f(0)h ∧ (x)
und wenn wir (2π) −n/2 davormultiplizieren und integrieren
f ∧∧ (0) · h(0) = f(0) · h ∧∧ (0)
Setzen wir hier speziell für h das Produkt von Gauss’schen Glockenkurven
e −x·x/2 ein, so folgt aus 2.1.15 sofort
f ∧∧ (0) = f(0)
Diese Erkenntnis brauchen wir nur noch auf die verschobenen Funktionen
τbf anzuwenden und mit den beiden ersten kommutativen Diagrammen von
2.1.13 erhalten wir
f(−b) = (τbf)(0) = (τbf) ∧∧ (0) = (τ−b(f ∧∧ )) (0) = f ∧∧ (b)