Analysis

7. DER SATZ VON STOKES 605
im Sinne unserer Definition 4.3.2 keine Untermannigfaltigkeit des R 3 , da wir
um Punkte auf dem Äquator keine Plättung im dort erklärten Sinne finden
können. Derartige Gebilde sind aber gerade besonders wichtig für die
Formulierung höherdimensionaler Verallgemeinerungen des Hauptsatzes der
Differential- und Integralrechnung, weshalb wir sie nun auch in unseren allgemeinen
begrifflichen Rahmen aufnehmen und dazu den Begriff einer “berandeten
Untermannigfaltigkeit” einführen. Im selben Schritt diskutieren wir
auch die in diesem Zusammenhang benötigten stärkeren Differenzierbarkeitsvoraussetzungen
an Mannigfaltigkeiten.
Definition 7.7.2. Sei X ein reeller Raum endlicher Dimension und seien
k ≥ 1 und 1 ≤ l ≤ ∞ gegeben. Eine Teilmenge M ⊂ X heißt eine kdimensionale
berandete C l -Untermannigfaltigkeit oder kurz berandete
Untermannigfaltigkeit von X genau dann, wenn es für jeden Punkt
p ∈ M ein Paar (U, g) gibt aus einer offenen Umgebung U ⊂◦ X von p und
einem C l -Diffeomorphismus g : U ∼ → g(U) von U auf eine offene Teilmenge
g(U) ⊂◦ R n derart, daß gilt:
g(U ∩ M) = g(U) ∩ (R≤0 × R k−1 × 0)
Ein derartiges Paar (U, g) nenne ich eine Plättung als berandete C l -
Untermannigfaltigkeit oder kurz Randplättung von M um p. Im Fall
k = 0 vereinbaren wir, daß eine berandete Untermannigfaltigkeit der Dimension
Null dasselbe sein soll wie eine diskrete Teilmenge. Statt C ∞ sagt
man auch oft glatt. Sprechen wir ohne nähere Spezifizierung von berandeten
Untermannigfaltigkeiten, so sind im Zweifelsfall stets glatte berandete
Untermannigfaltigkeiten gemeint.
7.7.3. Eine Randplättung darf natürlich auch in R