Analysis

10. FUNKTIONEN AUF KOMPAKTEN LIEGRUPPEN 1049
10.7 Uniforme Strukturen
10.7.1. Der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit kann nicht sinnvoll von Abbildungen
zwischen metrischen Räumen auf Abbildungen zwischen beliebigen
topologischen Räumen erweitert werden. Eine derartige Erweiterung gelingt
jedoch für Räume mit einer sogenannten “uniformen Struktur” und insbesondere
für topologische Gruppen und Teilmengen derselben, wie wir im folgenden
diskutieren werden.
Definition 10.7.2. Gegeben eine Menge X und eine Relation auf X alias
eine Teilmenge A ⊂ X × X setzen wir
A −1 := {(y, x) | (x, y) ∈ A}
A 2 := {(x, z) | ∃y ∈ A mit (x, y) ∈ A und (y, z) ∈ A}
Definition 10.7.3. Eine uniforme Struktur auf einer Menge X ist ein
Mengensystem A ⊂ P(X × X) derart, daß gilt:
1. A ist stabil unter endlichen Schnitten, und enthält demnach insbesondere
auch ganz X × X;
2. Alle Mengen aus A umfassen die Diagonale;
3. Mit einer Menge gehört auch jede ihrer Obermengen zu A;
4. Mit A gehört auch A −1 zu A;
5. Für jedes A ∈ A gibt es ein B ∈ A mit B 2 ⊂ A.
Eine Menge mit einer ausgezeichneten uniformen Struktur heißt ein uniformer
Raum. Die Elemente von A nennen wir verallgemeinerte Abstände
oder auch kürzer nur Abstände.
Beispiel 10.7.4. Für jede Metrik d auf einer Menge X erhält man eine uniforme
Struktur A auf X durch die Vorschrift
A := {A ⊂ X × X | ∃ε > 0 mit (d(x, y) < ε ⇒ (x, y) ∈ A)}
Es gibt jedoch in dieser uniformen Struktur im allgemeinen sehr viel mehr
Möglichkeiten für verallgemeinerte Abstände als im zugrundeliegenden metrischen
Raum.
Beispiel 10.7.5. Jede Teilmenge eines uniformen Raums erbt eine uniforme
Struktur in offensichtlicher Weise.