Analysis

808 KAPITEL VI. MANNIGFALTIGKEITEN UND LIEGRUPPEN
und zeige, daß in der abgeleiteten Darstellung der Liealgebra die Basismatrix
Eij mit einer Eins in der i-ten Zeile und j-ten Spalte und Null sonst wie der
Differentialoperator −Xj∂i operiert. Es scheint mir nun offensichtlich, daß
wir mit diesen Operatoren jedes von Null verschiedene homogene Polynom
in ein von Null verschiedenes homogenes Monom überführen können, und
ein solches Monom in jedes andere vom selben Grad. Man folgere, daß diese
Darstellungen sämtlich irreduzibel sind.
Ergänzende Übung 2.2.19. Für alle n ≥ 1 bilden die homogenen Polynome
vom Grad d eine irreduzible Darstellung
O d (C n ) = C[X1, . . . , Xn] (d)
der Gruppe GL(n; C) sowie ihrer Untergruppen GL(n; R) und U(n). Für
n ≥ 2 bleiben sie irreduzibel unter SL(n; C), SL(n; R) und SU(n). In der
Tat besteht Lie SU(n) aus den Fixpunkten einer schieflinearen Involution
auf Lie SL(n; C) und die Einbettung liefert folglich einen Isomorphismus
LieC SU(n) ∼ → Lie SL(n; C). Auf diese Weise können wir uns auf SL(n; C)
und dann sogar GL(n; C) zurückziehen. Nun überlegt man sich wie in 2.2.18,
daß die Elemente der Lie-Algebra als xi∂j wirken. Es scheint mir nun offensichtlich,
daß wir mit diesen Operatoren jedes von Null verschiedene homogene
Polynom in ein von Null verschiedenes homogenes Monom überführen
können, und ein solches Monom in jedes andere vom selben Grad.
2.3 Haar’sches Maß für Matrix-Liegruppen
Satz 2.3.1 (Vollständige Reduzibilität). Jede stetige endlichdimensionale
Darstellung einer kompakten Matrix-Liegruppe ist eine direkte Summe
von einfachen Unterdarstellungen.
Ergänzung 2.3.2. Die Verallgemeinerung dieses Satzes auf gewisse unendlichdimensionale
Darstellungen wird in 11.10.8 diskutiert.
Beweis. Nach dem im folgenden bewiesenen Lemma 2.3.12 finden wir auf
unserer Darstellung stets ein unter der Gruppenoperation invariantes Skalarprodukt.
Nun argumentieren wir durch Induktion über die Dimension unserer
Darstellung. Ist sie Null, so ist nichts zu zeigen. Sonst besitzt sie eine einfache
Unterdarstellung, und deren orthogonales Komplement ist auch eine Unterdarstellung,
auf die wir dann nur noch die Induktionsannahme anzuwenden
brauchen.
2.3.3. Dieser Satz gilt sowohl für reelle wie auch für komplexe Darstellungen.
Im Fall der einelementigen Gruppe besagt der Satz schlicht, daß sich jeder