Analysis

1. HOLOMORPHE FUNKTIONEN 1333
1.2.14. Man kann sich diese Gleichungen veranschaulichen als die Bedingung,
daß an jeder Stelle der Gradient von v aus dem Gradienten von u hervorgeht
durch die Drehung um einen rechten Winkel im Gegenuhrzeigersinn. Per
definitionem haben wir weiter fκ = κ(u, v) = u + iv mit (u, v) : U → R 2
wie üblich. Es ist üblich und praktisch, in diesem Satz und seinem Beweis die
kanonische Identifikation κ in der Notation systematisch zu unterdrücken. Ich
habe sie zur Übung hier ausgeschrieben, weil ja C und R 2 , wenn man es ganz
genau nimmt, zumindest in meinen Augen durchaus verschiedene Objekte
sind.
Ergänzung 1.2.15. Verwenden wir partielle Ableitungen vektorwertiger Funktionen
wie in IV.1.1.3, so können wir die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen
auch zusammenfassen zur Gleichung
i ∂(fκ)
∂x
= ∂(fκ)
∂y
Die komplexe Ableitung von f wird dann gegeben durch f ′ κ = ∂(fκ)
∂x
i ∂v ∂v ∂u = − i ∂x ∂y ∂y
Funktion festgelegt als f ′ κ = ∂u
∂x ∂y ∂y ∂x
∂u = ∂x +
und wird auch bereits durch Real- oder Imaginärteil unserer
∂u ∂v ∂v
− i = + i . Fassen wir komplexwertige
Funktionen auf einer Teilmenge der komplexen Zahlen als Vektorfelder auf
und verwenden die offensichtliche Identifikation von C mit R2 , so entspricht
die komplex konjugierte Ableitung also dem Gradienten des Realteils unserer
Funktion, in Formeln ¯ f ′ κ = κ grad u.
Beweis. Eine Funktion f : Uκ → C ist per definitionem komplex differenzierbar
in p genau dann, wenn sie dort differenzierbar ist im Sinne von IV.1.2.2
und wenn zusätzlich ihr Differential dpf : C → C durch die Multiplikation
mit einer komplexen Zahl, eben ihrer komplexen Ableitung f ′ (p), gegeben
wird. Unter unserer Identifikation κ : R 2 ∼ → C haben wir nun κ −1 fκ = (u, v)
und das Differential dpf wird nach IV.1.2.6 beschrieben durch die Jacobi-
Matrix
[κ −1 (dpf)κ] = [dp(κ −1 fκ)] = [dp(u, v)] =
∂u
∂x
∂v
∂x
an der jeweiligen Stelle p. Diese Matrix beschreibt die Multiplikation mit einer
komplexen Zahl genau dann, wenn sie mit der Matrix [κ −1 (i·)κ] = ( 0 1 −1 0 ) der
Multiplikation mit i kommutiert, wenn also gilt
∂u
∂y
= −∂v
∂x
und
∂v
∂y
= ∂u
∂x
an der jeweiligen Stelle p. Sind darüber hinaus u und v stetig partiell differenzierbar,
so ist nach IV.1.5.1 auch (u, v) und damit f = κ(u, v)κ −1 reell
differenzierbar und der Satz folgt.
∂u
∂y
∂v
∂y